线性代数一行列式

1、行列式展开定理,音乐,第三节,2,1、余子式与代数余子式,3,叫做元素 的代数余子式,例如,4,5,6,n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即,或,按第i行展开,按第j列展开,证略,推论: 若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式的值为零.,(行列式展开定理),7,例2 设,8,定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即,这是因为,第i行,第j行,9,同样, 行列式对列展开, 也有,则有,10,2、行列式的计算,计算行列式的基本方法：利用性质5将某行(列)化出较多的零,再利用展开定理按该行(列)展开.,例1。

2、例1 （行（列）和相同，提取公因子）,提取第一列公因子,例2,法一： 行和相同，提取公因子,n 阶,n+1阶，保证行列式值不变,法二： 加边法,爪型行列式：用对角线上的非零元消掉第一列（行）的非零元(（1，1）位置元除外),所作变换为：,从而：,练习：用四种方法下面行列式： 1.定理1（定义）；2.（初等行变换）化成上三角形；3.P78 例9，行（列）和同，提取公因子；4.加边法；,例3,例4,例4,2n阶， a b c d 各n 个,递推法,例 5,求,说明：一般求行列式某行（列）代数余子式的线性和，只用把相应系数换到原行列式的对应行（列）中，计算行列式即。

3、行列式的性质,音乐,第二节,2,1、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,DT=D,证略,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,，,3,性质2 交换行列式的两行(列),行列式的值变号.,例如,证略,推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,4,性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式, 即,证略,说明 行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子, 可以提到行列式符号的外面,推论 如果。

4、2020 4 22 共20页 1 第1 3节 行列式 2020 4 22 共20页 2 用消元法解二元线性方程组 二阶行列式 2020 4 22 共20页 3 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 2020 4 22 共20页 4 即 二阶。

5、1,二. 行列式的计算,方法多，技巧多。基本思路：化零，降阶，灵活运用性质、公式和特殊行列式。常用方法：,1. 化成三角形行列式； 2. 用倍加变换化零按一行（列）展开，降阶法； 3. 各行（列）相加法，“加边”法； 4. 递推公式法，数学归纳法； 5. 利用特殊行列式（范德蒙行列式）法。,2,化成三角行列式（基本方法） 利用行列式初等变换，把行列式化为上三角形行列式。对于由有限个具体数字构成的行列式尤其适用。,例9. 设,，求 detA.,解.,3,例10. 计算,解.,2. 用倍加变换化零按一行（列）展开，降阶 法（基本方法）,4,例11. 计算爪型（。

6、2009/2010 学年第二学期线性代数单元测试一、填空题（25=10）1若 ，则 x=12/5。234567800x2四阶行列式中含有因子 的项为 a31a44+a34a41。123a3若 ，则 的代数余子式为 。13456780x4在多项式函数 中， 项的系数是-2。21()xf3x5设行列式 =d，则行列式 的值是-d。nnnaa 212112 nnnaaaa11233212 二、选择题（3 6=18）1排列 53142 逆序数为 a。A7；B6；C 5；D 4。2如果行列式 D= =1，则行列式12133aD1= =。A12；B-12；C24；D -24。3231214aa3验证齐次线性方程组 有解 x1=x2=x3=x4=1，12341234014573xx其系数行列式为。A101；B-101； C201；D0。。

7、线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇- 1 -第一讲 行列式一、基本概念与有关结论(1)基本概念排列 逆序、逆序数 奇、偶排列 对换行列式的记号、含义、及定义式（ ）1212121212 nnnnNjjjjaaDa 1212121212 nnnnNiiiiaaDa 余子式 ijM代数余子式 ijA齐次线性方程组和非齐次线性方程组(2)有关结论对换的性质定理 1(P3 定理 1.1)推论 1(P3 推论 1)推论 2(P3 推论 2)推论 3(P3 推论 3)定理 2（Cramer 法则 P20 定理 1.5）* 齐次线性方程组总有零解推论 1(P22 推论) 若齐次线性方程组的系数行列式不为零, 则方程组只有零解.推论 2(P3) 若齐。

8、矢量 矢量（拉丁语:Vector）是婺笺、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念, 指一个同时具有大小和 方向而Tl何对象，因常常以箭头符号标示以区别于其它量而 得名。直观上，矢量通常标示厂不带箭头的线段（如右图）。线段的长度可以 表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的仪岂、述世、 力、动量、建生、电流密度等,都是矢量。与矢量概念相对的是只有大小而没有方 向的标量。 在数。

9、矢量矢量（拉丁语: Vector）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向的几何对象，因常常以箭头符号标示以区别于其它量而得名。直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段（如右图）。线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的位移、速度、力、动量、磁矩、电流密度等，都是矢量。与矢量概念相对的是只有大小而没有方向的标量。在数学中，矢量也常称为向量，即有方向的量。并采用更为抽象的矢量空间（也称为线性空间）来定义，而定义具有物理意义上的大小和方向。

10、线性代数 行列式 矩阵的概念和运算 逆矩阵 矩阵的初等变换 一般线性方程组 7 1行列式 主要内容 1 二阶行列式 2 三阶行列式 3 n阶行列式 4 行列式的性质 5 克莱姆法制 我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算 考虑二元线性方程组 一 二阶行列式 如果 那么方程组的解为 如果对于方程组的系数 按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表 引入记号 那么就可以得到一个二阶行列。

11、1.4 行列式性质,目前最快的是IBM的：1000万亿次/秒 需要考虑用别的方法计算行列式。 为此需要研究行列式的性质。,用行列式的定义计算行列式，所需机时：对n 阶行列式：乘法运算次数M (n-1)次/项 n！项 (n-1)n! 次,n 10, M 32,659,2001百万次/秒的计算机，需机时：32秒,n 15, M 1.810131百万次/秒的计算机，需机时：13.0年1亿次/秒的计算机， 需机时：50.6天,n 20， M 4.610191亿次/秒的计算机， 需机时：350,828年,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,记,行列式 称为行列式 的转置行列式.,显然 .,证明,按定义,又因为行列。

12、观察与思考,为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究二、三阶行列式的结构,第二节 n 阶行列式,1.宏观上,观察与思考,（1）由6项组成,（2）3个正项，3个负项,2.微观上,（1）三阶行列式展开式的每一项都是其位于不同行不同列的三个元素之积；,（3）带正号的三项列下标的排列分别为(123), (231), (312),带负号的三项列下标的排列分别为(132), (213), (321)正项的逆序数为偶数，负项的逆序数为奇数,（2）若将每一项第一个下标按自然顺序排列，则第二个下标是123所有6种排列的一种；(123), (231), (312), (132), (213), (321),观察与思考,(1)行列。

13、行列式一、 行列式的定义对于 阶方阵n， （112nni naaA 221121）与之相联系的一个数，表示成， （112nninaa 221122）称为一个 阶行列式或 的行列式，记为 或 。在行列式中， 也称为nAAdetija元素。为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。定义 1 在方阵（1121）中，划去元素 所在的第 行和第 列，余下ijaij的 个元素按原来的排法构成的一个 阶行列式2n 1n，njnjnn ijijii njj aaa 1,1,1 ,1, 111 1, 称为元素 的余子式，记为 。 称为元素 的代数余子式，记为ijaijMiji ij。ijA例 1 在四阶方阵 1324015中，第 2 行第 3 列的元素 5 的余子。

14、 2 2n阶行列式 一 全排列及其逆序数 问题 定义 把个不同的元素排成一列 叫做这个元素的全排列 或排列 个不同的元素的所有排列的种数 通常用表示 由引例 同理 在一个排列中 若数则称这两个数组成一个逆序 例如排列32514中 定义 我们。

15、线性代数行列式行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如 2 阶，3 阶行列式的值） ，即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据 2 阶，3 阶行列式的定义计算行列式的值。2.化。

16、線性代數,正修科技大學電機工程系 授課教師:孫火清 老師,Elementary Linear Algebra 正修科技大學 R. Larsen et al. (6 Edition) 電機系 孫火清老師,目錄,第一章 線性方程式系統 第二章 矩陣 第三章 行列式 第四章 向量空間 第五章 內積空間 第六章 線性轉換 第七章 特徵值與特徵向量,第一章 線性方程式系統,1.1 線性方程式系統簡介 1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法,Elementary Linear Algebra 正修科技大學 R. Larsen et al. (6 Edition) 電機系孫火。

17、线性代数（第五版）,在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.,我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.,3,第一章 行列式,内容提要1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则,行列式的概念.,行列式的性质及计算., 线性方程组的求解.,（选学内容）,行列式是线性。

18、一、利用定义计算行列式,注：由行列式的定义可知，对于n阶行列式而言，当行列式中零的个数多于n2-n时，该行列式的值一定为零。,二、利用性质1计算行列式,三、利用性质2计算行列式,注：利用行列式按行(列)展开式的性质，来计算行列式的元素的代数余子式的各种问题。,计算行列式时，把高阶行列式化为低阶行列式来计算也是非常有效的方法。,利用不完全数学归纳法来计算行列式，也是计算行列式的常用方法。,。

19、1,线 性 代 数,制作：Ryuhowell,Linear Algebra,2,课 程 特 点,抽象性强 应用性强（矩阵论在物理、生物、经济学等方面有着广泛的应用） 3.以离散变量为研究对象,3,第一章 行列式,第二章 矩阵,第三章 向量与线性方程组,第四章 矩阵相似对角化,第五章 二次型,主要内容,4,期末考试：70%,关于考试,平时成绩: 30%,一、考勤（10分）,二、作业（10）分,三、课堂表现（10）分,旷课(-2)、迟到(-1)、早退(-1),书写清楚，规范、不抄袭,课堂纪律表现： 睡觉、打电话、发短信、闲聊等（0.5）,A，B(-0.5), C(-1)(不交作业者为C),课堂学习表现：回答问题。

20、线性代数, 行列式, 向量, 线性方程组, 矩阵, 矩阵的特征值和特征向量,第1章 行列式（特定的算式）,一、行列式的概念,二、行列式的性质,三、行列式的计算,第1章 行列式,一、行列式的概念,1. 2阶和3阶行列式,行列式的元素,行列式的主对角线,行列式的次对角线,例, 共3!项的代数和,2. n阶行列式,共n!项的代数和, 特别：,一阶行列式, 3. 几种特殊的行列式 ,（对角行列式）,（上三角行列式）,（下三角行列式）,例, 特别：,二、行列式的性质 ,设, 的转置行列式：,1、,即行列式与其转置行列式相等。,2、,即提公因子 。,推论：如果行列式中某行（列。