1、1.4 行列式性质,目前最快的是IBM的：1000万亿次/秒 需要考虑用别的方法计算行列式。 为此需要研究行列式的性质。,用行列式的定义计算行列式，所需机时：对n 阶行列式：乘法运算次数M (n-1)次/项 n！项 (n-1)n! 次,n 10, M 32,659,2001百万次/秒的计算机，需机时：32秒,n 15, M 1.810131百万次/秒的计算机，需机时：13.0年1亿次/秒的计算机， 需机时：50.6天,n 20， M 4.610191亿次/秒的计算机， 需机时：350,828年,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,记,行列式 称为行列式 的转置行列式.,显然
2、 .,证明,按定义,又因为行列式 D 可表示为,故,证毕,性质2 互换行列式的任意两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.因此，在后面的性质中，如果对行列都成 立的性质，我们只证明对行成立。,第 行,交换其第 i 行和第 j行，有,由行列式定义可知， 中任一项可以写成,第 行,又因为,显然（2）式右端是取自不同行不同列的 个元素的 乘积，并且它们的行标在 中是标准排列的，所以,是 中的一项。因为排列 和排列的奇偶性相反，所以（1）式和 （3）式差一个负号，所以 中任意一项的相反数 是 中的一项，所以,证毕,记
3、法：,为了方便以后的叙述和运算，我们引入下列 记号,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,用 表示行列式 的第 行，用 表示 的第 列。则 表示交换 的第 行和第 行，表示交换 的第 列和第 列。,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都有一个公因子 ，则可以把公因子 提到行列式记号之外，即有,证明,由行列式定义知,例如，对任意的a，b，c，都有,例如,证毕,推论1 用数 乘以行列式 等于 中某一行（列）所有元素同乘以数 。,例如：,推论3：若行列式 D 某行(列)元素全为零，则D = 0。,推论2：若行列式中有两行(列)元素成比例，则D =
4、 0。,例如,例如,注意：做题时不容易发现。,性质4 若行列式的第 行（列）各元素都是两数之和： 则行列式 可分解为两个行列式 与 的和。其中 的第 行是，而 的第 行是 ，其他各行与原行列式相同，即,例如：,注：不是任意两个行列式可以相加，必须只有除一行 （列）不同外，其余元素都相同才可以相加。,(),性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,证明,由性质4,右边,左边,注意：k可以为0。,第 i 列和第 j 列对应元素成比例，由性质3的推论2知0,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 n 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,注：行（列）和行列式,例3 计算 n 阶行列式,分析,若用行列式性质5，有,解,注：箭型行列式。一般有以下四种形式：,箭型行列式解题方法：用对角线上的元素消去非零 行（列）的元素。,例4 （2000.5）计算 n 阶行列式,解,箭型行列式,例5 计算 n 阶行列式,注：可化为箭型行列式的行列式。 解题方法：通过一（两）次行列式性质的应用，化为箭型行列式求解。,解,(),说明:若利用行列式性质4,分解行列式,则共有 个行列式相加,而不是两个行列式之和.,= 0,正确的答案,
