1、行列式一、 行列式的定义对于 阶方阵n， （112nni naaA 221121）与之相联系的一个数，表示成， （112nninaa 221122）称为一个 阶行列式或 的行列式，记为 或 。在行列式中， 也称为nAAdetija元素。为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。定义 1 在方阵（1121）中，划去元素 所在的第 行和第 列，余下ijaij的 个元素按原来的排法构成的一个 阶行列式2n 1n，njnjnn ijijii njj aaa 1,1,1 ,1, 111 1, 称为元素 的余子式，记为 。 称为元素 的代数余子式，记为ijaijMiji ij。ijA例 1 在四阶方阵 13
2、24015中，第 2 行第 3 列的元素 5 的余子式是。1240323M而其代数余子式为 乘它的余子式 ，即3213。124023A定义 2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。 阶行列n式（ ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。n用符号表示，就是。nj ijjinji MaAa11上式称为行列式按第 行展开。可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系i的（见例 3） 。例 2 用定义展开二阶行列式 。21a解 按第 行展开。因为 ， ，于12A21211aA是得这个行列式的值为。2121211 aa如果按第 行展开，也会得到同样的结果。2例 3 证明不
3、管按哪一行展开，行列式的值不变。证略。行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的归纳定义外，常见的还有完全展开式定义和公理化定义等。将行列式逐阶按行展开，可得它的完全展开式。一个 阶的行列式，首次n展开时是 项的和，将每一项中的余子式再展开时又都是 项的和，这样下n 1去，将和中的行列式一直展开到一阶，可知在 阶行列式的完全展开式中共有项。!例 4 求三阶行列式 的完全展开式。32311a解 第一行各元素的代数余子式依次是，32323211 aA，3213231212 aaA。312321312313于是 1312132311 AaAaa31232132132132321 aaa。
4、312321321321321321 aa在这个展开式中共有 项。6!例 5 计算下三角形行列式 。nnaa 2110解 逐阶将行列式按第一行展开，由于每次展开时该行除第一列之外的元素都是零，于是。 nnnnn aaaa 2121211 00二、 行列式的性质性质 1 方阵转置，其行列式不变，即 。AT证略。性质 1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。例如，由例 5 即得上三角形行列式。nnnaaa 1222110下面我们所谈的行列式的性质大多是对行来说的。对于列也有相同的性质，就不重复了。性质 2 将行列式中某一行的各元素均乘以同一数 ，所得行列式是
5、原行列k式的 倍。或者说行列式一行的公因子可以提出去。k证 假设将行列式（1122）中第 行的各元素 均乘以数iija),21(n，得行列式 。则 、 两方阵除第 行之外都相同，因而它们第 行相应元kBA i素的代数余子式也相同。将 按第 行展开，注意到该行第 列上的元素为i jijka，于是),21(nj，AkakABnjijnjij 11这就是性质 2。令 ，就有，如果行列式中有某一行的元素全为零，则行列式为零。0k性质 3 互换行列式中两行的位置，行列式反号。证 设互换行列式（1122）中第 两行（不妨设 ）的位置，得行il, il列式 。在换位的两行是 的相邻行这样一种特殊情形，有 ，
6、而且方BA1阵 第 行上的元素的余子式就是 的第 行上相应的元素的余子式i l ljM。将行列式 按第 行展开，因为该行第 列上的元素为),21(njBi jlja，所以。AaManj ljjlnj ljji 11因此对这一特殊情形，性质是对的。再看一般的情形，假设第 两行之间相隔il,行，要互换这两行的位置，可通过一系列相邻行的换位来实现。从 出发，m把它的第 行先与第 行换位，再与第 行换位，也就是说，把第 行一l1l 2l l行一行地向下移动，经过 次相邻行的换位， 原来的第 行就刚好到了它mAl原来的第 行下面，接着把原来的第 行一行一行地向上移动，经过 次相邻行i i m的换位， 就
7、变成了 的样子。因此，互换 中两行的位置，如果这两行之AB间相隔 行，可以通过 次相邻行的换位来实现。 是奇数。相邻行m1212的换位使 反号。显然，奇数次这种换位的最终结果还是使 反号。故对一般A的情形，性质也是对的。性质 4 如果行列式中有两行相同，则行列式为零。证 设行列式 的第 两行 相同，互换这两行的位置后，所得的行Ail,)(il列式仍然是 。但根据性质 3，互换 的两行应该得到 。因此有AAA或 。所以 。020性质 5 在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零。证 设将行列式（1122）中第 行的元素 全都部换成第 行的相应元lljai素 ，所得行列式记
8、为 。一方面，由于 的第 两行相ija),1;(njlBBl,同，根据性质 4，有 ；另一方面， 两矩阵除第 行之外都相同，因此0BA,l它们第 行上对应元素的代数余子式也都相同。把 按第 行展开，得l。从而 。njljiAaB1 01njljiAa性质 6 如果行列式中两行的元素成比例，则行列式为零。证 设行列式（1122）的第 两行 成比例，比例系数为 ，即il,)(ilk，从 的第 行提取出公因子 ，余下的行列式记为 。,1(jkailj )nAkB根据性质 2，有 。然而 的第 两行相同，由性质 4 知 ，从而Bkil, 0。0A性质 7 若行列式 中某行 ， ，则 是两个行列式Ajj
9、ijcban,21 A的和，这两个行列式的第 行，一个是 ；另一个是 ；其余i n,21 nc,21各行与 的完全一样。A证 把行列式 按第 行展开，得i， njijnjinjijjnji AcbAcbAa1111将上式右端的 和 各看成一个行列式按第 行的展开式，则这两个njijb1njij1 i行列式的第 行，前一个的是 ；后一个的是 ；其余各行与i nb,2 nc,21的完全一样。A性质 7 显然可以推广到某一行是多组数的和的情形，读者可以自己写出来。性质 8 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。或者说用 型初等kjiP,矩阵左乘方阵，其行列式不变。证 利用性质 7 及性质 6 便得证。
10、例 证明：对任意的 阶方阵 ，均存在 型矩阵 ，使得nAkjiP, t,21。tsnsddiagP 1211,证 如果 的第一行和第一列的元素不全为零， ，那么总可以通过“把一行A的倍数加到另一行”或“把一列的倍数加到另一列”这两种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的这两种初等变换可以把 化为A；110Ad如果 中第一行和第一列的元素全为零，那么 已形如A。10A对于子矩阵 ，再重复以上的做法，如此做下去即可逐步把 化成对角形1A A矩阵 。nddiag,2矩阵 也可以反过来通过对 施行上述两种初等变换而得出。nddiag,21这就是说，存在 型矩阵 ，使kjiP, tP。tsnsi
11、A 1211,最后我们讨论一下矩阵乘积的行列式。性质 9 若 和 是同阶方阵，则 。BBA证 先看一个特殊情形，即 是一个对角矩阵的情形。设， ，容易算出nddiagA,21ijb， nnnnn bdbdBdAB 2122112121因此由性质 2 得。BAiagdnn 2121再看一般的情形。由例，存在 型矩阵 ，使kjP, tP,21，tsnsdiA 211,且根据性质 8，有 。于是ndiag,2，BPiPBtsns 1211,注意到性质 8 及 是对角矩阵，有ndi,2 ddiagAtsns 1211,BPtsi tsn 121,。Addag定义 3 方阵 称为非退化的或非奇异的，如果 ；否则称为退化的或A0奇异的。从性质 9 立即推出推论 设 是同阶方阵，矩阵 为退化的充分必要条件是 中至少有B, ABBA,一个是退化的。性质 9 及其推论可以推广到多个同阶方阵乘积的情形。设 是 阶方阵，由上节定理 2 和定理 3，有 阶初等矩阵An n，使得tsPP,11 ，rnrntsEPA,11 0上式右边是 的标准形。由于初等矩阵都是非退化的，事实上A。1, kjikiji再根据性质 9 的推论，我们有定理 1 阶方阵 非退化的充分必要条件是它的标准形是 阶单位矩阵。nAn设行列式 ，则第四行各元素余子式之和的值为 . 23507024D
