1、1,线 性 代 数,制作：Ryuhowell,Linear Algebra,2,课 程 特 点,抽象性强 应用性强（矩阵论在物理、生物、经济学等方面有着广泛的应用） 3.以离散变量为研究对象,3,第一章 行列式,第二章 矩阵,第三章 向量与线性方程组,第四章 矩阵相似对角化,第五章 二次型,主要内容,4,期末考试：70%,关于考试,平时成绩: 30%,一、考勤（10分）,二、作业（10）分,三、课堂表现（10）分,旷课(-2)、迟到(-1)、早退(-1),书写清楚，规范、不抄袭,课堂纪律表现： 睡觉、打电话、发短信、闲聊等（0.5）,A，B(-0.5), C(-1)(不交作业者为C),课堂学习
2、表现：回答问题或者参考期末考试成绩,5,行列式是一个数，它由一些数字按照一定的方式排列的方阵所确定，这个思想早在1683年和1693年就由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨提出。多年以来，行列式主要出现在线性方程组的讨论中。,第一章 行列式,6,主要内容：,二、三阶行列式定义 全排列及其逆序数 n阶行列式定义,基本要求：,会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 知道n阶行列式的定义.,第一讲 行列式的定义,7,行列式的引入（二、三阶行列式）,你能记住这 个公式吗？,8,9,二阶行列式的定义,定义1：由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表如下,即,主对角线,副对角线,例1,10,解：,系
3、数行列式,例2,11,利用行列式求解三元线性方程组,系数行列式,12,三阶行列式的定义,定义2,这个很难记！,为三阶行列式,称,13,三阶行列式的计算对角线法则,注意： 红线上三元素的乘积为正号，蓝线上三 元素的乘积为负号,说明： 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,14,例3 计算三阶行列式,例4,15,6项的行下标全为123,三阶行列式,而列下标分别为123，231，312 ， 321，213， 132,16,排列及其逆序数,定义1 由1,2,n 组成的有序数组,称为一个n元排列。,定义2 在排列,例 排列 32514 中,3 2 5 1 4,逆序,逆序,17,方法一：分别计算出排列中每个
4、元素前面比它大的数个数，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,排列逆序数的计算方法,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为0+1+0+3+1=5,18,例2 计算下列排列的逆序数,方法二：依次计算出排在1,2,n前面数字的个数(计算出之后在排列中删除此元素)，即依次算出1,2,n 这n个元素的逆序数，这个n元素的逆序数的总和即为排列的逆序数.,19,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,20,定理1 对换改变排
5、列的奇偶性,证明,(1)设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,(2)设排列为,现来对换 与,定义3,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动而得到新排列，这样的变换称为对换,例如,21,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.,22,推论,任意一个排列都可以经过一定次数的对换， 变成自然排列。 奇排列变成自然排列的对换次数为奇数， 偶排列变成自然排列的对换次数为偶数.,证明,由定理1知对换改变排列的奇偶性,而自然排列是偶排列(逆序数为0),因此,推论成立.,定理2 时，n个元素的所有排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为,23,n阶行
6、列式的定义,说明,（1）三阶行列式共有6项，即3！项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的 三个元素的下标排列,24,定义4,25,说明,(2)n阶行列式是n!项代数和,(3)每项都是n个位于不同行不同列的元素的乘积,(5)行列式的符号是双竖线不要与绝对值符合混淆,(1)n阶行列式的值为一个数,(4)每项的符号为,26,27,例3 计算行列式,解,例4 计算行列式,解,28,例5 计算上三角行列式,上三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积,主对角线下方元素全为零的行列式,29,例6,30,同理可得下三角行列式,下三角行列式的值等于主对角线
7、上元素的乘积,31,例7 证明,32,例8 计算行列式,例9 计算行列式,33,作业 1,第32页 2.(1) 3.(2),34,35,36,定义1：,设,为D的转置行列式,称,第二讲 行列式的性质,37,38,性质1：,行列式与它的转置行列式相等。,证明：,其中,由行列式定义,39,说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。,40,性质2：,互换行列式的两行（列），行列式的值变号。,证明：,设,交换s、t 两行，得,s行,t行,41,42,推论：,如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。,证明：,把相同的两行互换，有DD，所以 D0,43,性质3：,行列式中某一
8、行（列）的公因子可以提到行列式符号外面,44,推论1：如果行列式的某两行的对应元素成正比，则行列式的值为零,行列式的值为零：,(1)行列式某行为零,(2)行列式某两行相同,(3)行列式某两行成比例,45,推论2：数k乘以行列式等于数k乘以行列式的某行（列）,46,47,性质4：行列式的某行的元素都是两数之和，则该行列式等于两个 行列式之和,即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行是一样的。,48,49,性质5：,行列式的某一行的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行对应的元素上去，行列式的值不变。,证明：,50,51,行列
9、式的三类基本运算及其符号表示,(1)交换行列式的两行,(2) 行列式的某一行乘以数k,(3)某一行的k倍加到另一行,行列式的计算：利用性质（三类基本运算）把行列 式化为三角行列式,52,解：,例1 计算行列式,53,54,解二：,例1 计算行列式,55,解： 这个行列式有一个很特殊的特点：其每一行的,元素之和均为5。我们利用这一点进行化简。,例2计算行列式,56,第三讲 行列式的展开定理,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？,57,定义1：,在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行和,第 j 列划去后，剩下的
10、 n1 阶行列式称为元素,的,余子式。,记为,称,为元素,的代数余子式。,例如：,58,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。,59,行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即,定理1：,证明：,（先特殊，再一般）,分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。,(1),假定行列式D的第一行除了,外都是 0 。,60,由行列式定义,61,(2),设 D 的第 i 行除了,外都是 0 。,把D转化为(1)的情形,把 D 的第,行依次与第,行，第,行，,第2行，第1行交换；,再将第,列依次与第,62,63,(3),一般情形,64,例如，行列式,按第一行展
11、开，得,也可以按第二行展开,65,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即,推论：,证明：,66,综上，得公式,67,例1: 计算行列式,68,69,70,作业 2,第33页 6.(1)、(4) 7.(2) 10.(2)、(3),71,第四讲 行列式的计算,2.化为三角行列式,1.利用定义法,3.行列式展开(降阶),4.加边法,5.数学归纳法,6.递推法,7.升阶法,8.拆项法,72,1.利用定义法,73,74,2.化为三角行列式,75,76,3.按行列式展开,77,78,解,例8,式依次记作Mij和Aij 求A11A12A13A14，M11M21M31
12、M41,按第三 列展开,c2c1,按第三 行展开,4,79,M11M21M31M41,A11A21A31A41,0,r4r3,按第四 行展开,r12r3,80,4.加边法,每行（列）的元素之和相等,81,82,83,证,用数学归纳法,例11,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,5.数学归纳法,84,85,n-1阶范德蒙德行列式,范德蒙德行列式是一个重要的行列式，结果要记住哦！,86,例12 计算行列式,87,6.递推法,88,89,90,91,92,93,94,第 一 章 行 列 式 第四节 行 列 式 的计算,7.升阶法,95,8.拆项法,96,97,作业 3,第34页 12.(1)、(4)、(6),98,引入：,第五讲 克拉默法则,99,克拉默法则：,如果线性方程组,100,101,102,103,104,105,例2 用克拉默法则解方程组,解,106,107,108,109,例3 问 取何值时，齐次线性方程组,有非零解.,解:,110,解：先将方程组改写为：,系数行列式为,111,
