1、观察与思考,为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究二、三阶行列式的结构,第二节 n 阶行列式,1.宏观上,观察与思考,（1）由6项组成,（2）3个正项，3个负项,2.微观上,（1）三阶行列式展开式的每一项都是其位于不同行不同列的三个元素之积；,（3）带正号的三项列下标的排列分别为(123), (231), (312),带负号的三项列下标的排列分别为(132), (213), (321)正项的逆序数为偶数，负项的逆序数为奇数,（2）若将每一项第一个下标按自然顺序排列，则第二个下标是123所有6种排列的一种；(123), (231), (312), (132), (213), (321),观察与思
2、考,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p1 p2 p3 是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,三阶行列式可以写成,其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和,提示,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同（即一个大的数排在了一个小的数前面） 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个
3、排列的逆序数,标准排列（自然排列）,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,以下我们只讨论n个自然数的全排列,n级排列,n个自然数按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n 级排列. 例如：546132是一个6级排列。,一、排列的逆序与奇偶性,在排列p1p2 pn中 从第一个数p1开始，首先计算p1后面比p1小的数的个数 t1 ，对后面的每个pi也这样计算，得t2，t3 ， tn，则这n个数目之和 t1t2 tn 即为排列p1p2 pn的逆序数。记为,逆序数的计算,举例,在排列32514中,t50,t40,t32,t21,t12,排列32514的逆序数为t21
4、2005,标准排列12345的逆序数是多少?,逆序与逆序数,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同（即一个大的数排在了一个小的数前面） 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,举例,排列32514的逆序数是5 它是奇排列,标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列,逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列,奇排列与偶排列,逆序与逆序数,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同（即一个大的数排在了一个小的数前面） 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动
5、 就 得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换（邻换）,对换,举例,在排列21354中 对换1与4,排列21354的逆序数是2,经过对换 排列的奇偶性发生了变化,得到的排列是24351,排列24351的逆序数是5,定理1一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性,推论1 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数,这是因为 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 因此标准排列变为奇排列的对换次数为奇数次，相应地，奇排列变为标准排列的对换次数也为奇数次,推论2,n大于或等于2时，全体 n 级排列中，奇
6、排列和偶排列的个数相等，各为 n!/2 个.,二、n 阶行列式的定义,利用排列的逆序和奇偶性的概念,将上式推广到 n 阶行列式，有,具体来说, 由 n2 个数aij (i j1 2 n)构成的代数和,1. D是n!项的代数和 ;,3. 这些项是一切可能取自于D的不同行与不同列的 n 个元素的乘积 ;,2. 正负项个数分别为n!/2 个;,例1 在6阶行列式 det(aij) 中 元素乘积a15a23a32a44a51a66前应取什么符号?,解 列标排列532416 它的逆序数为 t4211008 它是偶排列 所以在该乘积项的前面应取正号,例2 用行列式定义计算行列式,解 为使取自不同行不同列的
7、元素的乘积不为0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四个元素的乘积为a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以 D(1)3a14a21a32a43a14a21a32a431,例3 证明行列式,一般地，主对角上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积,解,因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号,要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零,第一行只能取a11,第二行只能取a22,第三行只能取a33, ,第n行只能取ann,这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann,因此,Da11a22a33 ann,解,依行列式定义,(1)ta1na2 n1 an1,其中t为排列n(n1) 21的逆序数 故,t012 (n1),因此,行列式还可以定义为：,小 结,排列的逆序数n阶行列式的定义,下次介绍: 行列式的性质,
