1、 2 2n阶行列式 一 全排列及其逆序数 问题 定义 把个不同的元素排成一列 叫做这个元素的全排列 或排列 个不同的元素的所有排列的种数 通常用表示 由引例 同理 在一个排列中 若数则称这两个数组成一个逆序 例如排列32514中 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序 n个不同的自然数 规定由小到大为标准次序 排列的逆序数 32514 定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 例如排列32514中 32514 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为3 1 0 1 0 5 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数 这个元素的逆序数的总和即为所求
2、排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 排列的奇偶性 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和 即算出排列中每个元素的逆序数 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 方法2 例1求排列32514的逆序数 解 在排列32514中 3排在首位 逆序数为0 2的前面比2大的数只有一个3 故逆序数为1 32514 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数 其逆序数为0 1的前面比1大的数有3个 故逆序数为3 4的前面比4大的数有1个 故逆序数为1 例2计算下列排列的逆序数 并讨论它们的奇偶性 解 此排列为偶排列 解 当时为偶排列 当时为奇排列
3、 引理2 2 1一次对换改变排列的奇偶性 对换 把排列中某两个数的位置互换 而其余的数不动 就得到另一个排列 称为原排列的一个对换 二 n阶行列式的定义 说明 1 三阶行列式共有项 即项 2 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 为了给出n阶行列式的定义 我们先来研究三阶行列式的结构 三阶行列式的定义为 3 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 定义 determinant 说明 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 2 阶行列式是项的代数和 3 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列个元素的乘积 4 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 5 的符号为 例1计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零 所以只能等于 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例2计算上三角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 例3 同理可得下三角行列式 例4证明对角行列式 证明 第一式是显然的 下面证第二式 若记 则依行列式定义 证毕 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 2 阶行列式共有项 每项都是位于不同行 不同列的个元素的乘积 正负号由下标排列的逆序数决定 三 小结
