1、矢量矢量（拉丁语:Vector）是婺笺、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念, 指一个同时具有大小和 方向而Tl何对象，因常常以箭头符号标示以区别于其它量而 得名。直观上，矢量通常标示厂不带箭头的线段（如右图）。线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的仪岂、述世、力、动量、建生、电流密度等,都是矢量。与矢量概念相对的是只有大小而没有方 向的标量。在数学中,矢量也常称为 向量，即有方向的量。并采用更为抽象的 矢量空间（也称 为线性空间）来定义，而定义具有物理意义上的大小和方向的向量概念则需要引进 了范数和内积的欧几里得空间表示方法在文字表述时，如果已知矢量
2、的 起点和终点分别是A和B,那么这个矢量可以记为如果是为了和其他量区别，则在符号顶上加上箭头表示矢量，如 Vo注：过往在排版过程中，要在字母上加上箭头比较困难，不像手写那么容易。所以在以往的书本印刷中，矢量多数会用粗体字母表示，如 V,但这样做却增加了阅读 困难，因为要区分是否粗体字有时不容易，例如 D和D肉眼看很易混淆。但随着 时代和技术进步，在加上电脑辅助排版，为求清楚明确起见，书籍中用粗体字母代 表矢量的情况也越来越少了。0 O矢量的直观图形表示则一般使用带箭头的线段。而遇到某些特殊情况需要表示与记 载纸面垂直的矢量，则会使用圆圈中打叉或打点的方式来表示（如右图）。圆圈中 带点的记号（。
3、）表示由纸下方指向纸上方的矢量，而圆圈中带叉的记号（？）则表示由纸的上方指向纸下方的矢量。由于这种记号不表示矢量的大小，所以必须时需 要在旁边或其它地方另外注明。在直角坐标系中，定义有若干个特殊的基本矢量，其它的矢量可以通过这些基本矢量来表示。在常见的三维空间直角坐标系 Oxyz里，基本矢量就是以横轴（Ox）、 竖轴（Oy）以及纵轴（Oz）为方向的三个 单位矢量；、J、不。这三个矢量取好 以后，其它的矢量就可以通过三元数组来表示,因为它们可以表示成一定倍数的三个基本矢量的总合。比如说一个标示为 （2,1,3）的矢量就是2个矢量I加上1个矢量3加上3个矢量k得到的矢量。（他 b, c） = ai
4、 + bj + ck.在进行矩阵运算时,矢量也可以表达成 列矢量和行矢量（如下例）。|aa = bc 一 a = a b c.简介物理学和一般的几何学中涉及的矢量概念严格意义上应当被称为欧几里得矢量或几何矢量，因为它们的定义是建立在通常所说的 欧几里得空间上的。按照定义，欧几 里得矢量由大小和方向构成。在 线性代数中,矢量是所谓 矢量空间中的基本构成元 素。矢量空间是基于物理学或几何学中的空间概念而形成的一个抽象概念，是满足 一系列法则的元素的集合。欧几里得空间便是线性空间的一种。矢量空间中的元素 就可以被称为矢量，而欧几里得矢量则是特指欧几里得空间中的矢量。在一些上下文中，会假设矢量有确定的
5、起点和终点，当起点和终点改变后，构成的 矢量就不再是原来的矢量。这样的矢量也被称为固定矢量。在另一些时候，会认为矢量的起点和终点并不那么重要。两个起点不一样的矢量，只要大小相等，方向相 同，就可以称为是同一个矢量。这样的矢量被称为自由矢量。在数学中，一般只研究自由矢量。一些文献中会提到矢量空间带有一个特定的巫克，这时可能会默认矢量的起点是原点。叟一基本性质矢量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位矢量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位矢量巴。矢量之间可以如数字一样进行运算。常见的矢量运算有：汕，处，数乘矢量以及矢量之间的 变次（数量积和矢量积）。加法与减法矢量的加法满足 平行四边形法则
6、和三角形法则。具体地，两个矢量反和相加，得 到的是另一个矢量。这个矢量可以表示为 江和的起点重合后，以它们为邻边构成 的平行四边形的一条对角线（以共同的起点为起点的那一条，见下图左），或者表 示为将1的终点和b的起点重合后，从S的起点指向.的终点的矢量：两个矢量a和的相减，则可以看成是矢量 E加上一个与b大小相等，方向相反的矢量。又或者,日和后的相减得到的矢量可以表示为 国和W的起点重合后,从区的终点指向后的终点的矢量: 当这两个矢量数值、方向都不同，基本矢量瓦=(1,0,0),通=(0J,0),& =(0,0,1)时，矢量和计算为(1 + b =(值1 + &1)1 + (3 + 电)己2
7、+ (应3 + 63)&并且有如下的 不等关系:a| + | a + b |c - |fi|此外，矢量的加法也满足 交换律和结合律。回反矢量和零矢量与数字一样,一个矢量也有反矢量。一个矢量 方的反矢量与它大小相等，但方向相 反，一般记作。如果矢量万是矢量b的反矢量，那么总也是H的反矢量国。零矢量是指大小为零的矢量。零矢量实质上是起点与终点重合的矢量，它的方向是不确定的，可以根据需要假设其方向。两个反矢量的和就是零矢量。标量乘法一个标量k和一个矢量E之间可以做乘法，得出的结果是另一个与 讨方向相同或 相反，大小为v的大小的| k 1倍的矢量，可以记成 而 回。-1乘以任意矢量会得到它的反矢量，0
8、乘以任何矢量都会得到零矢量 0。数量积主条目：数量积数量积也叫点积、内积，它是矢量与矢量的乘积，其结果为一个标量。几何上，数 量积可以定义如下：设M、月为两个任意矢量，它们的夹角为 9,则他们的数量积为：工后=豆cos。31数量积被广泛应用于物理中，如做功就是用力的矢量点乘位移的矢量，即印F - so矢量积主条目：矢量积 矢量积也叫叉积,矢量积,外积，它也是矢量与矢量的乘积，不过需要注意的是, 它的结果是Ri,但由于其结果是由坐标系确定,所以其结果被称为伪矢量。设有矢量，=(44乩,幺:*)、B = (8盘工B期，、B=k),则其矢量积的矩阵表达式可写作：AxB =及 By B-混合积主条目：
9、混合积三个矢量江、行和的混合积定义为:5(&xc) = b-(cxa) = c (a x 6)线性相关性对于m个矢量 正，喘，,心,如果存在一组不为零的 m个数仅1、侬、 出年=d使得,那么，称m个矢量正，达，,小线性相关。如果 这样的m个数不存在，即上述矢量等式仅当 夜=2 = =m = 0时才能成立，就称矢量正，宓，,4线性无关。网矢量与基矢量空间分为有限 维矢量空间与无限维矢量空间。在有限维矢量空间中，可以找到 一组(有限个)矢量 瓦：诙！- El,使得任意一个矢量 正都可以唯一地表示成这 组矢量的线性组合：V二竹团+妆品+ 一 + Vnen其中的标量Uh叼一，工脸是随着矢量才而确定的。
10、这样的一组矢量称为矢量 空间的基。给定了矢量空间以及一组基后，每个矢量就可以用一个数组来表示 了囱。两个矢量 行和济相同，当且仅当表示它们的数组一样。Vi = Wi 逅 = V.% = 5两个矢量了和面的和：v+w= + g）瓦 + （内 + W*）& H1-（Vn + Wn）en它们的数量积为：F 而 二巧啊.我为-I1- Vn 力包而标量k与矢量v的乘积则为：.匚 忌:尸：一金 /）匕+ 一：;；,为/口网矢量的模长主条目：范数矢量的大小也叫做范数或模长，记作 Mio有限维空间中，已知矢量的坐标，就可 以知道它的模长：II训=J董+磅H+吗回数学上、一个mxn的矩阵是一个由m行n列元素排列
11、成的 矩形阵列。矩阵里的元 素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字符素构成的2行3歹U的矩阵:lr1 9-1320 5 -6 i-大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上 的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法满足结合律和分配律,但不满足交换律。矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一 个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示 线性变换,即 是诸如/（）=4日之类的线性函数的推广。设定史！后，某个向量V可以表示 为mxi的矩阵，而线性变换
12、f可以表示为行数为 m的矩阵R,使得经过变换后得 到的向量f（v）可以表示成Rv的形式。矩阵的 特征值和特征向量可以揭示线性变 换的深层特性。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于 统计分析等应用数学学科中。在您 理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中, 三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将 您 隹分或为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应 用广泛而形式特殊的矩阵，例如 稀疏矩阵和准对角矩阵,有特定的快速运算 送。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考 矩阵理论。在天体物理、量子力 定等领域，也会出现无穷维的矩阵
13、，是矩阵的一种推广。译名矩阵的概念最早于1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译 为纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在科学第十卷第四期刊 登的审定名词表中，矩阵被翻译为 矩阵式”，方块矩阵翻译为方阵式”，而各类矩阵 如正交矩阵”、伴随矩阵”中的矩阵”则被翻译为 方阵”。1935年，中国数学会审查 后，中华民国教育部审定的数学名词（并通令全国各院校一律遵用，以昭划一”） 中，矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学 名词加以校订的算学名词汇编中，认为应当的译名是长方阵”。中华人民共和国成立后编订的数学名词中，则将译名定为“（
14、矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的数学名词中， 矩阵”被定为正式译名,并沿用至今定义将一些元素排列成若干行，每行放上相同数量的元素，就是一个矩阵。这里说的元素可以是数字，例如以下的矩阵：9135A1117A=392607排列成的形状是矩形，所以称为矩阵。在 中国大陆，横向的元素组称为 行”，纵 向称为 列”，而在台湾则相反,横向称为 列”，纵向称为 行咽。矩阵一般用大 写拉丁字母表示,需要具体写出其中元素时，一般用方括号或圆括号括起。以上的矩阵A是一个4行3列的矩阵。行数是1或列数是1的矩阵又可分别称为行向量和列向量。这是因为一个向量可以表示成行数或列数是1的矩阵形式。矩阵
15、的任一行（列）都是一个行（列）向量，例如矩阵A的第一行9 13 5就是一个行向量。行（列）向量可以看成一个向量，因此可以称矩阵的两行（列）相等，或者某一行等于某一列, 表示其对应的向量相等。标记一个矩阵A从左上角数起的第i行第j列上的元素称为第i,j项，通常记为A4、色3 四,或再Ji j。在上述例子中A4同=7。如果不知道矩阵A的具体元素，通常也会将 它记成忏hidm瓯或叵.二2n。反之，如果A的元素可以写成只与其行数i和列 数j有关的统一函数f,那么也可以用A=/氏刑叱作为A的简写。例如B邛+2加高 是矩阵B3 5 7的简写。要注意的是，一些计算机编程语言中，会将第 1行（列）称为第0行
16、（列），从而对矩阵的写法产生影响，比如矩阵 B就要改写成H=F+2j+a1K3。矩阵的元素可以是数字、符号或数学表达式。一般为了支持矩阵的运算，矩阵 的元素之间应当能做加减法和乘法，所以是某个 坯里的元素。最常见的是元素 属于实数域或复数域的矩阵,简称为实矩阵和复矩阵。更一般的情况下，矩阵 的元素可以是由一个 坯中的元素排成。 给定一个如R,所有由R中元素排成的 m刈矩阵的集查写作人外g叫R）或人算熊（R）。若m = n,则通常记以M（m.R）或儿7n（R）称其为n维矩阵或方阵。矩阵的基本运算主条目：矩阵加法、转置矩阵和初等矩阵矩阵加法”、数矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。
17、被称为乘”和 转置”的运算不止一种回，其中最基本最常用的定义如下：运算定义加（减） 法m刈矩阵A和B 的和（差）：AB 为一个m xn矩 阵，其中每个元素 是A和B相应元 素的和（差）， ,Mltoo例子fl r I （A 坨）i,j = Ai,j 土 Bi,j,其中 1 i m , 1 j m的 矩阵，记为AT (有 些书中也记为Atr 或A、A),其中 的第i个行向量是 原矩阵A的第i 个列向量；或者 说，转置矩阵AT 第i行第j列的元 素是原矩阵A第j 行第i列的元素，(AT)i,j = Aj,i.矩阵的加法运算满足交换律： A + B = B + A4o矩阵的转置和数乘运算对加法满足
18、分配律：(A + B)T = AT + BTc(A + B) = cA + cB矩阵加法和数乘两种运算使得 乂(1眄叼成为一个mn维的实数线性空间。而转置和数乘运算满足类似于结合律的规律：c(A T) = (cA)T矩阵也有类似行列式的初等变换,即对矩阵的某些行和某些列进行三类操作：交换两行(列)，将一行(列)的每个元素都乘以一个固定的量，以及将一行(列)的每 个元素乘以一个固定的量之后加到另一行(列)的相应元素上。这些操作在求矩阵的逆之时有用。矩阵乘法主条目：矩阵乘法PI矩BA和B相乘得到AB的示意图两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵 A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m刈矩阵和B
19、是n xp矩阵，它们的乘积AB是一个m xp矩阵，它的一个元 素AB, =+ + AnBn AiTBrjr1其中1 m, 1jp5o例如(lx3 + 0x2 + 2xl) (lxl + Qxl + 2xO) = 5 1；q(-lx3 + 3x2 + lxl) lxl + 3xl + lx0) = 2)矩阵的乘法满足结合律和对矩阵加法的分配律(左分配律和右分配律)： 结合律：(AB)C = A(BC), 左分配律：(A + B )C = AC + BC, 右分配律：C(A + B) = CA + CB.矩阵的乘法与数乘运算之间也满足类似结合律的规律；与转置之间则满足倒置的分配律。c(AB) =(
20、cA)B = A(cB)(AB)T = BTAT矩阵乘法不满足交换律。一般来说，矩阵A及B的乘积AB存在, 但BA不一定存在，即使存在，大多数时候 AB WBA。比如下面的 例子：这一特性使得矩阵代数与常见的一些数域（有理数、实数、复数） 以及环（多项式环、整数环）都不同。给定一个 n维的方块矩阵A, 与A交换的所有方块矩阵构成一个环，称为 A的交换子环。这些矩 阵也构成人弭R的一个子空间，称为A的可交换空间典。与（冗,限）中所有矩阵交换的矩阵只有形如用工入股的矩阵（称为数乘矩阵）。其中的匚是单位矩阵，也就是主对角线上的元素为1 , 其它元素为0的矩阵。任意矩阵M乘以单位矩阵都得到自 身：皿=
21、丽7二的除了最常见的矩阵乘法定义以外，也有一些较不常见的矩阵乘法, 比如阿达马乘积 和克罗内克乘积7。线性方程组主条目：线性方程组矩阵乘法的一个基本应用是在线性方程组上。线性方程组是方程组的一种,它符合以下的形式：+ al,2x2 + 薄In =瓦3,15 + 2,212 + ,+ &2 M=&21 = hjn其中的巴,1，的,2以及瓦，电等等是已知的常数，而工1,等等则是要求的未知数。运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：Ax = b其中，A是由方程组里未知量的系数排成的 mxn矩隆，x是含有n个元素 的行向量，b是含有m个元素的行向量囱。这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向
22、量方程，在已知矩阵A和 向量b的情况下，求未知向量X。线性变换主条目：线性变换矩阵是线性变换的便利表达法。矩阵乘法的本质在联系到线性变换的时候最能体现， 因为矩阵乘法和线性变换的合成有以下的连系：以迎“表示所有长度为n的行向量的集合。每个mxn的矩阵A都代表了一个从不射到IT的线性变换。反过来，对 每个线性变换：欧 T暧，都存在唯一 mxn矩阵Af使得对所有瞰中的元素x,=产。这个矩阵为第i行第j列上的元素是正则基向量ej =（oI0, L 00）r （第j个元素是1，其余元素是0的向量）在f映射后的向量/（0工）的第i个元素。也就是说，从IT1射到度由的线性变换构成的向量空间上存在一个到叼的
23、一一映射:工%以下是一些典型的2维实平面上的线性变换对平面向量（图形）造成的效果，以及 它们对应的2维矩阵。其中每个线性变换将蓝色图形映射成绿色图形；平面的原点 （0, 0）用黑点表示。1 1.2501水平反射变换底”变换，压缩程度r=3/2放缩变换,3/2倍lr-1 00 1L. 1-3/2L 0 2/33/2 0 1A 3A旋转变换,左转30水平错切变换， 幅度 m=1.25.Illi “切 花 ， w r 打t 上x 翻 ，丁匚，)。，八E VAICI1-一 ,肘，,w设有km的矩阵B代表线性变换g : Rm - Rk,则矩阵积BA代表了线性变换的复 合g o f,因为(g f)(x)=
24、 g(f(x) = g(Ax)= B(Ax)=(BA)x矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行(列)向量的最大个数 地，同时也是矩阵对 应的线性变换的像空间的维度附。秩-零化度定理说明矩阵的列数量等于矩阵 的秩与零空间维度之和回方块矩阵主条目：方块矩阵行数与列数相同的矩阵称为方块矩阵，简称方阵。所有n维的方块矩阵构成一个线 性空间，这个空间对矩阵乘法也是封闭的，因此也是一个代数。方阵A称为可逆或非奇异的，如果存在另一个方阵 B,使得AB = In成立。这时候可以证明也有 BA = In成立四，可将矩阵B称为A的逆矩阵出。一个矩阵A的逆矩阵如果存在的话，就是唯一的，通常记作A-1。矩阵A的元素Ai,i称
25、为其主对角线上的元素。方块矩阵A的所有主对角线元素之和称为它的 迹，写作tr(A)。尽管矩阵的乘法不满足交换律，方阵相乘时交换 顺序会导致乘积变化，但它们的迹不会变，即 tr(AB) = tr(BA产。除此以外，矩 阵转置的迹等于其自身的迹，tr(A)=tr(AT)o如果一个方阵只有主对角线上的元素不是0 ,其它都是0,那么称其为对角矩阵(如果主对角线上方的元素都是 0 ,那么称为下三角矩阵;反之如果主对角线下方 的元素都是0,那么称为上三角矩阵。例如 n = 3的时候，这些矩阵分别写作：必1 000 dos 0(对角矩阵)，(下三角矩阵)00das%2 130U2 的a和。*蹲3（上三角矩阵
26、）行列式主条目：行列式R2里的一个线性变换 f将蓝色图形变成绿色图形，面积不变，而顺时针排布的向量X1和X2的变成了逆时针排布。对应的矩阵行列式是-1.方块矩阵A的行列式是一个将其映射到标量的函数，记作 det（A）或|A|,反映了 矩阵自身的一定特性。一个方阵的行列式等于0当且仅当该方阵不可逆。系数是实数的时候，二维（三维）方阵 A的行列式的绝对值表示单位面积（体积）的图形经 过A对应的线性变换后得到的图形的面积（体积），而它的正负则代表了对应的线 性变换是否改变空间的定向：行列式为正说明它保持空间定向，行列式为负则说明 它逆转空间定向。2X2矩阵的行列式是det （:= ad - be.3
27、X3矩阵的行列式由6项组成。更高维矩阵的行列式则可以使用莱布尼兹公式写出16,或使用拉普拉斯展开由低一维的矩阵行列式递推得出皿。两个矩阵相乘，乘积的行列式等于它们的行列式的乘积：det（AB）二det（A） det（B）18o将矩阵的一行（列）乘以某个系数加到另一行（列）上不改 变矩阵的行列式，将矩阵的两行（列）互换则使得其行列式变号出。用这两种操作可以将矩阵变成一个上三角矩阵或下三角矩阵，而后两种矩阵的行列式就 是主对角线上元素的乘积，因此能方便地计算。运用行列式可以计算线性方程 组的解（见 克莱姆法则）阿。特征值与特征向量主条目：特征向量nxn的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足A
28、v - 21的标量为以及非零向量V。特征值和特征向量的概念对研究线性变换很有帮助。 一个线性变换可以通过它对应的矩阵在向量上的作用来可视化。一般来说，一个向量在经过映射之后可以变为任何可能的向量，而特征向量具有更好的性质 里。假设在给定的基底下，一个线性变换对应着某个矩阵 A,如果一个向量X可 以写成矩阵的几个特征向量的线性组合：X = C1XA1 + 6税 + + C屈 K%其中的X%表示此向量对应的特征值是 ,那么向量X经过线性变换后会变成：Ax = CiH1- 小x独可以清楚地知道变换后向量的结构。另一个等价的特征值定义是：标量 A为特征值，如果矩阵 A一3!般是不可逆矩阵。根据不可逆矩
29、阵的性质，这个定义也可以用行列式方程描述： 人为特征值，如果23这个定义中的行列式可以展开成一个关于 入的n阶多项式,叫做矩阵 A的特征多项式，记为PA。特征多项式是一个首一多项式(最高次 项系数是1的多项式)。它的根就是矩阵 A特征值必。哈密尔顿- 凯莱定理说明,如果用矩阵A本身代替多项式中的不定元 入，那么多 项式的值是零矩阵：户a(A) = 0.对称主条目：对称矩阵转置等于自己的矩阵，即满足 A = AT的方块矩阵A叫做对称矩阵。满足A = - AT 的矩阵称为反对称矩阵。在复系数矩阵中，则有 埃尔米特矩阵的概念:满足A = A* 的方块矩阵称为埃尔米特矩阵，其中的 A*表示A的共轲转置
30、矩阵。根据谱定理,实对称矩阵和复埃尔米特矩阵拥有特征基，即由矩阵的特征向量组成 的基底。因此任何向量都能表示成矩阵特征向量的线性组合。此外，这两类矩阵的 特征值都是实数26-。正定性矩阵表达式正定性取值图像对应二次型Q(, g)二-y2) Q3 期)=；俨 +说明正定矩阵对应的二次型的取值范围永远是正的,不定矩阵对应的二次型取值则可正可负主条目：正定矩阵n刈的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量 x Rn,对应的二次型Q(x) = xTAx函数值都是正数，就称 A为正定矩阵。类似地还有半正定矩阵、负定矩阵、不 定矩阵等概念27。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且 仅当其特征彳1
31、都是正数 四。矩阵的计算矩阵在许多学科领域中都有应用，在很多时候，除了需要知道矩阵的理论性质以外， 还需要计算矩阵的数值。为了矩阵的计算能够足够精确与快捷，数值线性代数中专门有研究矩阵的数值计算方法29。与其它的数值计算一样，矩阵的数值计算注重的 主要也是算法的复杂度和数值稳定性。矩阵的数值计算可以使用直接计算，也可以 用迭代算法，例如在计算方块矩阵的特征值时，可以从一个非零向量工口开始，通过特定迭代方法得到一个 逼近某个特征向量的向量序列30。n阶方阵的乘法需要6测量一个算法的复杂度是指估计此算法需要的基本运算如数字的加法和乘法的次 数，或者找出它的一个上界。例如按照定义计算的话，两个 次数
32、字乘法计算，因为其乘积是一个n阶方阵，有几2个元素，计算每个元素需要冗次 数字乘法。如果使用 施特拉森算法的话,可以将数字乘法的次数减低到大约 7/选次 世。此外，编程语言或环境本身对算法的复杂度也会有影响。某些特殊类型的矩阵携带的数据量比一般矩阵要少，同时带来的信息量比一般矩阵 多。一个重要的例子是稀疏矩阵，这类矩阵中绝大部分的元素是零。有关稀疏矩阵 的计算，如计算稀疏矩阵 A的线性方程组Ax = b时，可以使用一些专用于稀疏矩 阵的特殊算法（比如 共的梯度法32）,减低计算复杂度。算法的数值稳定性是指输入值的小变化不会让计算结果产生很大偏差。例如计算矩阵的逆时，可以用以下的算法（其中 ad
33、j（A）表示A的伴随矩阵）A-1 = Adj（A） / det（ A）这个算法在A的行列式接近0的时候会引起很大的 舍入误差丁。而如果使用全 选主元的高斯消去法求逆，则在复杂度降低的同时能够避免舍入正亲，保证数 值稳定性。矩阵分解主条目：矩阵分解、对角化、高斯消去法 和巴莱斯算法矩阵研究的一大方向是将一般的矩阵用一些比较简单”的矩阵来表示。这种表示方式称为矩阵的变换与分解。矩阵变换与分解的方法有很多，它们的目的都是希望化 简后的矩阵保持原矩阵的某些性质，比如行列式、秩或逆矩阵，而形式相对简单， 因而能用容易地进行讨论和计算，或者能使得某些算法更易执行。LU分解将矩阵分解为一个下三角矩阵 L和一
34、个上三角矩阵U的乘积檄。分解后的 矩阵可以方便某些问题的解决。例如解线性方程组时，如果将系数矩阵A分解成A = LU的形式，那么方程的求解可以分解为求解 Ly = b和Ux = y两步，而后两个 方程可以十分简洁地求解（详见 三角矩阵中向前与向后替换”一节）。又例如在求 矩阵的行列式时，如果直接计算一个矩阵 A的行列式，需要计算大约（n + 1）!次加 法和乘法；而如果先对矩阵做 LU分解，再求行列式，就只需要大约 几3次加法和乘 法，大大降低了计算次数。这是因为做 LU分解的复杂度大约是虚次，而后注意到L和U是三角矩阵，所以求它们的行列式只需要将主对角线上元素相乘即可。口 I若尔当矩阵，其中
35、灰色框内的是若尔当块高斯消去法也是一种矩阵分解方法。通过初等变换操作，可以将任何矩阵变为阶梯形矩阵,而每个操作可以看做是将矩阵乘上一个特定的 初等矩阵35。奇异值分反如 是另一种分解方法，将一个矩阵表示成 3个矩阵的乘积：A = UDV。其中U和V是 酉矩阵,D是对角矩阵。特征分解是将一个矩阵A写成PDP-1的形式，其中P是一个可逆矩阵，D是对角矩 阵峋。如果A的特征分解存在，就称它是可对角化的矩阵。不能对角化的矩阵，也 有类似的分解方式。任意的矩阵 A都可以写成PJP-1的形式，其中的矩阵J是若尔 当标准型。若尔当标准型是矩阵的一种，它与对角矩阵类似，只不过主对角线上的 一 元素不是数值，而
36、是若尔当块：主对角线上为同一元素,主对角线右上一行的次对角线上都是1,其它元素都是0的矩阵（见右图） 四。特征分解可以方便计算矩 阵的曷次和多项式，如要计算An:An = （PDP-1）n = PDP-1PDP-1.PDP-1 = PDn P-1而其中对角矩阵的曷次 Dn要比An容易计算得多。同理还可计算 矩阵指数:eA （在线性微分方程中有应用）、矩阵对数和矩阵的平方根38。为了提高算法的 数值稳定性，还有 舒尔分解等矩阵分解方法 幽。矩阵的推广矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，也可以任意环或域中元素。在线性代数中，矩阵的性质可以经由有限维的线性空间中的线性变换定义。更广泛的，无限维空间
37、中的线性算子，则可以定义更广泛的无穷维矩阵。矩阵的另一种推广是Ko标量可以看成零维方式排列的数据（只有一个点”），向量可以看成是一维方式排列的数据（若干个 点”排成的 线段”），矩阵可以看成是二维方式排列的数据 （若干个 线 段”排成的 矩形，而张量的概念则包括了这几种排列方式。在张量的概念中，标 量是零维张量，向量是一维张量，矩阵是二维向量，而更高维方式排列的数据方式 就是高维张量也。一般域和环上的矩阵矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，还可以是任何能够使得矩阵的运算律成立 的元素。首先，矩阵的元素可以是任意一个域（即能够进行加减乘除”运算的集合）中元素。例如 编码理论中会出现系数为 有限域
38、中亓素的矩阵.以及有理数系数的矩 阵。如果矩阵的系数所在域 K不是代数闭域，那么在求矩阵的特征值时，由于特征 值是相应的特征多项式的根，可能不在系数域K中，而是在系数域的某个扩域L中。 反过来，如果考虑按此L/K,以及L中的一个元素以及L中线性变换门儿1 :X f ax那么由于凸也是一个K-线性变换，它可以表示成一个nxn的K系数矩阵大口，其中的n是扩域L/K的阶数。片是这个矩阵的特征值，这个矩阵的特征多项式 打71是a-在K中的最小多项式miiiK（G）的曷次:Pxa = （minK（n）Y 其中的是扩域L/K 9）的阶数利。更一般的情况是矩阵的元素属于某个环 R42o环是比域更广泛的概念，
39、只要求 其中元素能够进行加减法和乘法运算（不一定能定义除法）。给定一个环R,Mg % R）中的矩阵之间可以相互加减以及相乘，所以 M （m.% R）关于 矩阵的加法和乘法也构成一个环，称为 矩阵环。n维方阵的环儿（九,R）与左 R-惶_Rn的自同态环同构43。若R是交换环,则从（m, R）是一个带单位元的R-代数，满足结合律，但不满 足交换律。其中的矩阵仍然可以用莱布尼兹公式定义行列式。一个矩阵可逆当且仅当其行列式为环R中的可逆元（域上的矩阵可逆只需行列式不等于 0）出矩阵与线性变换前面已经提到，所有Rnf Rm的线性变换都对应着一个外，R）中的矩阵。更一般地，给定了基底后，任意两个有限维线性
40、空间之间的线性映射 f: V-W也对 应着一个矩阵Af= （aij）o设空间V和W的基底分别是VI,，vn和W1,，wm,那么/（vj）=1=1m对任意j = 1,.几，矩阵Af实际上 记录”了 V中每个基底向量经过变换后得到的 W中的像在基底 （W1,，wm）下的形式。要注意矩阵的内容取决于基底的选择。可以说，矩阵是 线性变换f在特定 角度”（基底）下的 素描”。不同的 角度”下，描述f的矩阵是 不同的，但这些矩阵都是 相似矩阵45。与矩阵有关的基本概念都可以用线性变 换的层面来解释，比如一个矩阵的转置可以用f的对偶变换f* : W*f V*来表示46 O当矩阵的元素是带单位元的环 R中的元
41、素时，mxn的R-矩阵对应的则是 R-自 由模Rm和Rn之间的R-线性变换。n = m的时候，这些R-线性变换可以相互复 合，因此n维的R-矩阵环能够与R-自同态环Rn同构。矩阵群 主条目：矩阵群牲是比环更宽泛的代数结构，只需要集合配备一个满足结合律的 二元运算，即将两 吊群内元素映射到群内一元素的运算。矩阵群是指矩阵关于矩阵乘法组成的群出。显然，只有方块矩阵才能构成乘法群。所有 n维的可逆方阵构成一个群，称为 n阶 一般线性群。由于群内每个元素都必须是可逆的,任意的矩阵群都必然是一般线性 群的子群。能够在矩阵乘法和求逆矩阵运算下保持的性质都可以用来刻画一定的矩阵群。例如 所有行列式为1的矩阵
42、可以构成一个群，称为 n阶特殊线性群48。所有n维的正交 矩阵,即满足：MTM = I的矩阵M也构成一个群，称为n阶正交群49。正交矩阵得名于它在 Rn中对应 的线性变换具有保角性，也就是说对基本的 虎也，满足（Mv） （Mw） = v w四每个有限群都同构于一个矩阵群。实际上，每个有限群都同构于某个 置换群 的子群，而每个置换群都同构于一个矩阵群（见置换群的 正则群表示三）鉴 于矩阵群的性质可以通过与矩阵相关的更多手段更好地理解， 常常通过研究 矩阵群来研究一个有限群。相关的理论称为 群表示论。无限维矩阵主条目：无限维矩阵无穷维矩阵可以指行数或列数无穷大，或两者都是无穷大的矩阵型。尽管这样的
43、矩阵无法完整写出，但只要知道每行每列的元素的值，仍然可以对它进行矩阵操作和 运算。这里矩阵的行数和列数甚至不一定需要是 可数集。需要注意的是，无穷维矩 阵的乘法涉及到无穷级数求和,因此只有在相关的无穷级数 喙敛的时候，才能定义 矩阵的乘积53。无限维矩阵也可以是方块矩阵，定义为行标记集合与列标记集合相 同的矩阵（如N x N）畋。无限矩阵无法定义通常意义上的行列式，因此可逆矩阵不一定是方块矩阵，同理， 酉矩阵也不一定要是方块矩阵磔。空矩阵主条目：空矩阵空矩阵是指行数或列数为零的矩阵。空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个nX0和0xp的空
44、矩阵相乘是一个n冷的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0X0的空矩阵的行列式约定为1 ,所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己 。分块矩阵分块矩阵是指一个大矩阵分割成 矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵1 2 3 212 7 54 9 2 66 15 8可分割成4个2X2的矩阵Pll P12% P72将矩阵分块可以使得矩阵结构清晰，在某些时候可以方便运算、证明。 两个大小相同、分块方式也相同的矩阵可以相加。行和列的块数符合矩 阵乘法要求时，分块矩阵也可以相乘。将矩阵分块相乘的结果与直接相 乘是一样的。用分块矩阵求逆，可以将高阶矩阵的求逆转化为多次低阶 矩阵的求逆也。应用矩阵在许多领域都应用广泛。有些时候
45、用到矩阵是因为其表达方式紧凑，例如在 推 弈论和经济学中,会用收益矩阵来表示两个博弈对象在各种决策方式下的收益 阚。文本挖掘和索引典汇编的时候,比如在 TF-IDF方法中，也会用到 文件项矩阵来追 踪特定词汇在多个文件中的出现频率 也。复数可以用实系数的2X2矩阵表示： _ Cl -Dd + ID LJb a a.这种表示法与复数的加减法、乘法都相兼容。比如，2X2的旋转矩阵可以用来表示模长为1的复数，一个向量乘以此旋转矩阵可以视作一个复数乘以该模长 为1的复数。对四元数也有类似的矩阵表达 股。早期的密码技术如希尔密码也用到矩阵。然而，矩阵的线性性质使这类密码相 对容易破解回计算机图像处理也会用到矩阵来表示处理对象、并且用放射旋 转矩阵来计算对象的变换，实现三维对象在特定二维屏幕上的投影须。多项式坯上的矩阵在控制论中有重要作用。化学中也有矩阵的应用，特别在使用 量子理论讨论分子键和光谱的时候。具体 例子有解罗特汉方程 时用重叠矩阵和福柯矩阵来得到哈特里一福克 方法中的分 子轨道。图论1Pl一个无向图的邻接矩阵图论中可以用矩阵描述一个有限图吃。这个矩阵叫做相关矩阵的邻接矩阵，记录了 图的每两个顶点
