1、1,2018年6月17日星期日7时29分55秒,线性代数,线性代数,2,2018年6月17日星期日7时29分55秒,第1章 行列式,行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用克拉默法则.,3,2018年6月17日星期日7时29分55秒,第2次课,1.4 1.5目的要求: 1.掌握子式、余子式、代数余子式的求法； 2.理解行列式与代数余子式之间的联系； 3.掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开), 并会用于简化行列式的计算； 4.掌握克拉默法则解线性方程组； 5.第一章 小结.,4,
2、2018年6月17日星期日7时29分56秒, 1.4 行列式的展开（降阶）,定义: 在n阶行列式D中,(k阶)子式N: 任选k行k列相交处元素构成的行列式.(N的)余子式M: 划去N所在行列后,剩余元素构成的行列式.(N的)代数余子式A:M带上N的符号.,N所在的行,N所在的列,5,2018年6月17日星期日7时29分56秒,例如:四阶行列式,D的2阶子式:,N的余子式:,N的代数余子式:,6,2018年6月17日星期日7时29分56秒,再如:四阶行列式,D的1阶子式:,余子式:,代数余子式:,7,2018年6月17日星期日7时29分56秒,D的1阶子式:,余子式:,代数余子式:,8,2018
3、年6月17日星期日7时29分56秒,D的1阶子式:,余子式:,代数余子式:,9,2018年6月17日星期日7时29分56秒,D的1阶子式:,余子式:,代数余子式:,10,2018年6月17日星期日7时29分56秒,定理: n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,或,按行展开,按列展开,证明：（略）,11,2018年6月17日星期日7时29分56秒,注意： 按某行（列）展开，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。,12,2018年6月17日星期日7时29分56秒,例1,解：（1）按第一行展开计算,13,2018年6月17日星期日7
4、时29分56秒,（2）先化简再展开,计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.,14,2018年6月17日星期日7时29分56秒,定理: n 阶行列式D中某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.,15,2018年6月17日星期日7时29分56秒,16,2018年6月17日星期日7时29分56秒,例2,17,2018年6月17日星期日7时29分56秒,练习：设四阶行列式,计算：,18,2018年6月17日星期日7时29分56秒,解（1）,19,2018年6月17日星期日7时29分56秒,解（1）,20,2018年6月17日星期日7时29分56秒,是D的第四行元素与
5、第二行对应元素的代数余子式乘积之和.,21,2018年6月17日星期日7时29分56秒,构造一个新行列式（根据题意）,22,2018年6月17日星期日7时29分56秒,例3 计算n 阶行列式,解：按第一列展开可得递推公式。见P22,23,2018年6月17日星期日7时29分56秒,24,2018年6月17日星期日7时29分56秒,例4 计算范德蒙行列式,解：从第n行开始，依次减去上一行的 倍得,25,2018年6月17日星期日7时29分56秒,按第一列展开后，从每列提取一个公因式,得原行列式与低一阶的范德蒙行列式间的关系,26,2018年6月17日星期日7时29分56秒,依此类推，可得：,27
6、,2018年6月17日星期日7时29分56秒,练习：计算行列式,解：,28,2018年6月17日星期日7时29分56秒,若在n阶行列式D中，任意选取k行k列，这样组成的所有k阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式 D的值。（证略）,定理（拉普拉斯定理）,29,2018年6月17日星期日7时29分56秒,例5,30,2018年6月17日星期日7时29分56秒, 1.5 克拉默法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.,这个结论可推广到n元线性方程组,时线性方程组有唯一解.,当系数行列式,在1.2中，我们知道二元线性方程组,31,2018年6月17日星期日
7、7时29分56秒,克拉默法则 ：若非齐次线性方程组,系数行列式不为零，则它有唯一解：,定理的结论有两层含义：当系数行列式不为零时，方程组（1）有解； 解唯一且可由式()给出.,32,2018年6月17日星期日7时29分56秒,例1 解方程组,解：系数行列式,33,2018年6月17日星期日7时29分56秒,34,2018年6月17日星期日7时29分56秒,定理：若n元齐次线性方程组（1）的导出组）,系数行列式不为零，则它有唯一解：,35,2018年6月17日星期日7时29分56秒,可以证明,齐次线性方程组,有非零解的充要条件是系数行列式为零.,36,2018年6月17日星期日7时29分56秒,
8、例2 当k取何值时，齐次线性方程组,有非零解.,解：,方程组有非零解.,37,2018年6月17日星期日7时29分56秒,第一章 习题课,38,2018年6月17日星期日7时29分56秒,（1）化上（下）三角行列式,P16 T1.（5）,将第1列与2、3、n列对换，经过n-1次对换,计算行列式,39,2018年6月17日星期日7时29分56秒,另解：用行列式定义,40,2018年6月17日星期日7时29分56秒,P16 T1.（3）,41,2018年6月17日星期日7时29分56秒,42,2018年6月17日星期日7时29分56秒,43,2018年6月17日星期日7时29分56秒,另解：,44
9、,2018年6月17日星期日7时29分56秒,P17 T2. （3）,n+1阶行列式,45,2018年6月17日星期日7时29分56秒,46,2018年6月17日星期日7时29分56秒,例：,47,2018年6月17日星期日7时29分56秒,P17 T1.（7）,48,2018年6月17日星期日7时29分56秒,（2）按一行（列）展开，但应先恒等变形，将该行（列）化出较多的零.,P26 T1.（3）,49,2018年6月17日星期日7时29分56秒,按第一列展开,50,2018年6月17日星期日7时29分56秒,按第一行展开,51,2018年6月17日星期日7时29分56秒,P26. T1（4
10、）,52,2018年6月17日星期日7时29分56秒,53,2018年6月17日星期日7时29分56秒,54,2018年6月17日星期日7时29分56秒,（3）按多行（列）展开，拉普拉斯定理,P26 T2（1）,解：,按二、四两行展开,55,2018年6月17日星期日7时29分56秒,（4）各行（列）元素之和都相等,P16 T1.（6）,56,2018年6月17日星期日7时29分56秒,把D的2、3、n列依次加到第1列,57,2018年6月17日星期日7时29分56秒,58,2018年6月17日星期日7时29分56秒,（5） 利用范德蒙行列式,59,2018年6月17日星期日7时29分56秒,P26 T1 . （2）,60,2018年6月17日星期日7时29分56秒,P32 T3.（6）,（6）递 推 法,61,2018年6月17日星期日7时29分56秒,按第n行展开,62,2018年6月17日星期日7时29分56秒,63,2018年6月17日星期日7时29分56秒,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,64,2018年6月17日星期日7时29分56秒,解,参考P17 T2(3),65,2018年6月17日星期日7时29分56秒,作业,练习1.4 T3 练习1.5 T1 T2 T3,
