1、线性代数,第五章 线性变换,2,5.3 特征值与特征向量,一 特征值与特征向量的概念 定义6.1 设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的一个线性变换，对于数域 P 上一个数 0 ，如果存在一个非零向量 使得,则称 0 为 T 的一个特征值，非零向量 称为T 的属于0 的一个特征向量 .,一些基本性质: (1) 一个特征向量只能属于一个特征值,3,5.3 特征值与特征向量,(2) 如果 1 、2 都是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则当 1 + 2 0 时，1 + 2 也是 T 的属于特征值0 的特征向量,(3) 如果 是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则 的任何一个非零倍数 k 也是
2、 T 的属于特征值0 的特征向量,属于特征值0 的全部特征向量 + 零向量构成一个线性子空间,4,5.3 特征值与特征向量,记,定义5.6 称为线性变换 T 的属于特征值0 的特征子空间.,二 特征值与特征向量的求法,设 1, 2, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基，线性变换 T 在该基下的矩阵为A ，0 为 T 的一个特征值，属于特征值 0 的特征向量 在该基下的坐标为,因为,5,5.3 特征值与特征向量,也即,求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题，存在的充要条件是：,6,5.3 特征值与特征向量,定义5.7 设 A 是数域 P 上一个n 阶方阵， 为一个未知量，
3、矩阵 E - A 的行列式,称为 A 的特征多项式，记为,的根称为 A 的特征根（或特征值）,7,5.3 特征值与特征向量,的非零解称为 A 的特征向量 显然： 当线性变换 T 对应于 n 阶方阵 A 时 T 的特征值 对应于 A 的特征值 T 的特征向量坐标 对应于 A 的特征向量,当0 为 A 的一个特征值时，方程,（称为特征方程组）,8,5.3 特征值与特征向量,求矩阵的特征值与特征向量的步骤： (1) 计算矩阵 A 的特征多项式,(2) 由,得所有根,即为矩阵A的特征值,(3) 对 A 的不同特征值 i , 分别求解方程组,得基础解系,其线性组合,即为i 的全部特征向量。,不全部为零）
4、,（,9,5.3 特征值与特征向量,例 求矩阵,特征值与特征向量. 解:,A 特征值,10,5.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得,即,得基础解系,属于特征值,的全部特征向量,11,5.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得,得基础解系,属于特征值,的全部特征向量,12,5.3 特征值与特征向量,例 设 1, 2, 3 是数域 P 上 3 维线性空间 V 的一个基，线性变换T 在该基下的矩阵为,求线性变换 T 的特征值与特征向量. 解:,A 特征值,13,5.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得线性无关的特征向量,将特征值,代入特征方程组,得特征向量,
5、14,5.3 特征值与特征向量,T 的属于特征值,的线性无关的特征向量,T 的属于特征值,的全部特征向量,不全部为零）,（,15,5.3 特征值与特征向量,T 的属于特征值,的线性无关的特征向量,T 的属于特征值,的全部特征向量,不为零）,（,16,例 R2 上旋转变换T 在单位向量组成的基 e1, e2 下的矩阵,5.2 线性变换的矩阵,它的特征多项式,如果,无解,17,5.3 特征值与特征向量,定理5.6 相似的矩阵有相同的特征多项式 证明: 设 A B , 存在可逆阵 P 使得 P-1A P = B,线性变换的特征值与基 的选取无关,18,5.3 特征值与特征向量,线性变换的特征值与基的
6、选取无关.,当 A , B 表示同一个线性变换在两个基(过渡矩阵为可逆阵 P )下的矩阵时:,A , B 有相同的特征多项式,19,5.3 特征值与特征向量,考察特征向量: 设 X 为 A 的特征向量:,PX 为 B 的特征向量,而 X 和 PX 为同一个向量在两个基(过渡矩阵为可逆阵 P )下的坐标,线性变换的特征向量与基的选取无关.,20,5.3 特征值与特征向量,三 特征多项式的基本性质,观察特征多项式：, 只有主对角线项可能包含 n 和 n-1 项 n 和 n-1 项必定来自于,21,5.3 特征值与特征向量,(1) 特征多项式 f () 是关于 项的 n 次多项式 (2) n 次项(
7、 n 项)的系数为 1 (3) n-1 次项(n-1 项)的系数为 (a11+ a22+ ann) 括弧中主对角线元素之和称为矩阵 A 的迹，记为,另外，在多项式 f () 中令未知量 为0，应得到常数项，,(4) 常数项的系数为,22,5.3 特征值与特征向量,另一方面，在复数域，特征多项式 f () 必定有 n 个根，因此可以分解为：,特征多项式 f ()在复数域的 n 个根（特征值）：,23,5.3 特征值与特征向量,定理5.7 (Hamilton-Cayley定理) 设 A 是数域 P 上一个 n 阶方阵，f () = E - A是A 的特征多项式，则矩阵多项式,证明：设 B() 是
8、(E - A) 的伴随矩阵，即 (E - A)* ，由行列式性质,设,24,5.3 特征值与特征向量,25,5.3 特征值与特征向量,Hamilton-Cayley定理的意义: 对于数域 P 上任意一个 n 阶方阵，提供一种方法使得我们能找到一个 n 次多项式，使得将该矩阵代入这个多项式 等于零矩阵, 由此我们在计算高阶矩阵多项式时能通过多项式除法先把次数降低, 然后再计算, 由于多项式运算的复杂度一般大大低于矩阵运算, 由此降低整个运算的复杂度. 例 设,计算,26,5.3 特征值与特征向量,解:,令,27,5.3 特征值与特征向量,四 特征向量的线性无关性,定理5.8 属于不同特征值的特征
9、向量线性无关. 证明: 设 1 , 2 , k 是矩阵 A 的 k 个不同的特征值, X1 , X2 , Xk 是分别属于它们的特征向量,对向量个数用数学归纳法, k =1 时自然成立. 设向量个数为 k-1 时成立, 设,一方面,两边同时乘矩阵 A :,28,5.3 特征值与特征向量,另一方面,两边同时乘 k :,两个等式相减 :,29,5.3 特征值与特征向量,根据归纳法假设:,30,5.3 特征值与特征向量,定理5.9 如果1 , 2 , k 是矩阵 A 的 k 个不同的特征值, 而,是属于特征值 i 的 ri 个线性无关特征向量, 则,线性无关.,31,5.4 矩阵的对角化,定理 5.
10、10 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 具有n 个线性无关的特征向量. 证明: 必要性, 设,32,5.4 矩阵的对角化,令,得,因 Xi 线性无关, Xi 不等于 0, 为特征向量.,33,5.4 矩阵的对角化,充分性, 设 A 有n 个线性无关的特征向量,令,则,34,5.4 矩阵的对角化,由于P 由 n 个线性无关的向量构成 P 可逆, 两边同乘 P-1:,推论 如果 n 阶矩阵 A 有n 个不同的特征值, 则 A 相似于对角矩阵.,35,5.4 矩阵的对角化,例 判别 A 能否相似于对角矩阵？若能相似于对角矩阵，求可逆阵 P 使得 P-1AP 为对角矩阵.,解:,得,36
11、,5.4 矩阵的对角化,对应的特征向量,令,得,37,5.4 矩阵的对角化,例 判别 A 能否相似于对角矩阵？若能相似于对角矩阵，求可逆阵 P 使得 P-1AP 为对角矩阵.,解:,得,38,5.4 矩阵的对角化,对,对, 只有两个线性无关的特征向量，不能相似于对角矩阵,39,5.5 化实对称矩阵为对角阵,定理5.11 实对称矩阵的特征多项式的根（特征值）全部是实数.,证明：设 A 为实对称矩阵, 是 A 的特征值, X 为对应的特征向量，则,两边取共轭得,两边转置,两边同时乘以 X,40,5.5 化实对称矩阵为对角阵,因为是实对称矩阵,所以,即,41,5.5 化实对称矩阵为对角阵,设,因 X
12、 0,进一步： 由于特征值全部是实数 特征方程系数全部是实数 特征方程的解（特征向量）为实向量,42,5.5 化实对称矩阵为对角阵,定理5.12 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交.,证明：设 A 为实对称矩阵, 1 、2 是 A 的特征值, X1 、X2 为对应的特征向量，则,因1 2 ,43,5.5 化实对称矩阵为对角阵,定理5.13 设 A 为 n 阶实对称矩阵，总能找到一个 n 阶正交阵 P 使得 P-1AP 为对角矩阵. 证明：对实对称矩阵的阶数用归纳法，阶数为 1 时显然成立， 设阶数为 n - 1 时成立，考虑阶数为 n 时情况， 设 1 是 A 的一个特征值， X1 为对
13、应的特征向量（并经过单位化）， 则,由 X1 可扩充出 n 个两两正交的向量 X1 , X2 ,Xn 令, P1 为正交阵,44,5.5 化实对称矩阵为对角阵,因,45,5.5 化实对称矩阵为对角阵,下面考察,因,为对称矩阵,46,5.5 化实对称矩阵为对角阵,所以,为对称矩阵,由归纳法假设，存在一个 n-1 阶正交阵 P2 使得 P2-1A1P2 为对角矩阵，即,47,5.5 化实对称矩阵为对角阵,构造,P3 为 n 阶正交阵, 并且,48,5.5 化实对称矩阵为对角阵,这样,或者,49,5.5 化实对称矩阵为对角阵,令,为 n 阶正交阵, 得到,50,5.5 化实对称矩阵为对角阵,实对称矩
14、阵的正交相似对角化的步骤： (1) 计算矩阵 A 的特征多项式 (2) 求出特征多项式的全部不同的根 (3) 对每个不同的根，写出特征方程组，求出基础解系， 并利用施密特正交化过程使其成为单位正交向量组 (4) 将不同特征值的单位正交向量组合并构成正交矩阵 P,51,5.5 化实对称矩阵为对角阵,例 设,求正交矩阵 P ，使得 P-1AP 为对角矩阵. 解: A的特征多项式为,得,52,5.5 化实对称矩阵为对角阵,对应的特征向量,单位化,对应的特征向量,53,5.5 化实对称矩阵为对角阵,单位化,54,5.5 化实对称矩阵为对角阵,令正交矩阵,55,5.5 化实对称矩阵为对角阵,例 已知三阶
15、实对称矩阵 A 的特征值为6、3、3，且特征值 6对应的一个特征向量为,试求矩阵 A. 解: 设 A 的特征值 3 对应的特征向量为,由实对称阵的不同特征值对应的特征向量正交,故,56,5.5 化实对称矩阵为对角阵,解齐次方程组,得基础解系为,令,57,5.5 化实对称矩阵为对角阵,则,因此,58,5.5 化实对称矩阵为对角阵,例 设 A为 n 阶对称的正交矩阵, 且 1 为A 的 r 重特征值, (1) 求 A 的相似对角矩阵； (2) 求特征多项式,解 (1) 因 A 为 n 阶对称的正交矩阵，存在正交阵 P 使得,59,5.5 化实对称矩阵为对角阵,因为 1 为 A 的 r 重特征值,
16、-1 为 A 的 n - r 重特征值,A 的相似对角矩阵,60,5.5 化实对称矩阵为对角阵,(2) A的特征多项式为,例 已知三阶方阵 A 的特征值为 0、1、-1，对应的特征向量分别为,求 An,61,5.5 化实对称矩阵为对角阵,解：令,有,62,5.5 化实对称矩阵为对角阵,63,5.6 正交变换,定义5.8 设 T 是线性空间 V 中的线性变换，对于任意 ， V 都有,则 T 是一个正交变换,正交变换的基本性质：,(1) 正交变换保持向量长度不变,64,5.6 正交变换,(2) 正交变换保持向量之间夹角不变,特别地，如果,65,5.6 正交变换,定理5.14 设 T 为 n 维欧氏
17、空间 V 的一个线性变换，那么下面四个命题等价： (1) T 是正交变换 (2) 对任意 V ，有,证明： (1) (2),(3) 如果 1, 2, n 是 V 的一个标准正交基，那么 T(1),T(2) ,T(n) 也是 V 的一个标准正交基 (4) T 在任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵,66,5.6 正交变换,证明： (1) (3),如果 1, 2, n 是 V 的一个标准正交基,67,5.6 正交变换,T(1),T(2) ,T(n) 也是 V 的一个标准正交基,由于是正交变换,68,5.6 正交变换,反过来，如果 1, 2, n 和T(1),T(2) ,T(n) 都是 V 的标准正
18、交基，对任意,而,69,5.6 正交变换,证明： (3) (4),设 T 在标准正交基 1, 2, n 下的矩阵为 A, 有,70,5.6 正交变换,反过来，如果 1, 2, n 和T(1),T(2) ,T(n) 都是 V 的标准正交基，对于,中的矩阵 A , 正好为两个标准正交基之间的过渡矩阵，因此为正交矩阵,71,5.6 正交变换,正交变换的一些其他性质： (1) 正交变换的乘积还是正交变换 （正交矩阵的乘积还是正交矩阵） (2) 正交变换是可逆变换，并且逆变换也是正交变换 （正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，正交矩阵是可逆矩阵，其逆矩阵还是正交矩阵）,另外，由,第一类正交变换,第二
19、类正交变换,72,例题,例 n 阶矩阵 A 为对合阵(即 A2 = E ), 且 A 的特征值都为1, 试证明 A = E.,证 由,可得,由于 A 的特征值都为1, 故 -1 不是 A 的特征值,即, E + A 可逆,因此,73,例题,例 n 阶矩阵 A 为对合阵(即 A2 = E ), 则 A 的特征值只能为 1 .,证 设 为矩阵 A 的特征值，则有对应的特征向量 X，使得,74,例题,例 n 阶矩阵 A 为正交阵, 则 A 的特征值只能为 1 .,证 设 为矩阵 A 的特征值，则有对应的特征向量 X，使得,75,例题,例 n 阶矩阵 A 为对合阵(即 A2 = E ), 则 A 的特征值只能为 1 .,证 设 为矩阵 A 的特征值，则有对应的特征向量 X，使得,76,例题,例 n 阶矩阵 A 为对合阵(即 A2 = E ), A 能相似于对角矩阵,证,
