1、线性代数 行列式 矩阵的概念和运算 逆矩阵 矩阵的初等变换 一般线性方程组 7 1行列式 主要内容 1 二阶行列式 2 三阶行列式 3 n阶行列式 4 行列式的性质 5 克莱姆法制 我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算 考虑二元线性方程组 一 二阶行列式 如果 那么方程组的解为 如果对于方程组的系数 按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表 引入记号 那么就可以得到一个二阶行列式 并规定为 此式的右端称为二阶行列式的展开式 aij i 1 2 j 1 2 称为二阶行列式的元素 横排的称为行 竖排的称为列 例1计算下列各行列式 类似地 三元线性方程组 二 三阶行列式 的系数所
2、构成的行列式规定为 此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式 三阶行列式的计算方法可用图示记忆法 凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号 凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号 这种展开法称为对角线展开法 这种展开法称为对角线展开法 下面介绍三阶行列式的展开式 其中A11 A12 A13分别称为a11 a12 a13的代数余子式 例2计算下列三阶行列式 三 n阶行列式 一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示 所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式 可以用三阶行列式来定义四阶行列式 依此类推 一般地 可以用n个n 1阶行列式来定义n阶行列式 下面给出n阶行列式的定义 定义设n 1阶行列式已经定义
3、 规定n阶行列式 其中A1j 1 1 jM1j j 1 2 n 这里M1j为元素a1j的余子式 即为划掉A的第1行第j列后所得的n 1阶行列式 A1j称为a1j的代数余子式 由定义可以看出 行列式是由行列式不同行 不同列的元素的乘积构成的和式 这种定义方法称为归纳定义 通常 把上述定义简称为按行列式的第1行展开 解因为a12 a13 0所以由定义 例4计算行列式 解由定义 将Dn按第一行展开 得 行列式D与它的转置行列式DT的值相等 如果行列式的某一行 列 的每一个元素都是二项式 则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行 列 其余的行 列 不变的两各行列式的和 四 行列式的性质 性质1
4、性质2 如果把行列式D的某一列 行 的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD 也就是说 行列式中某一列 行 所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 如果把行列式的某两列 或两行 对调 则所得的行列式与原行列式的绝对值相等 符号相反 如果行列式的某两列 或两行 的对应元素相同 则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列 或两行 的对应元素成比例 则此行列式的值等于零 行列式的两列对应元素成比例 就是指存在一个常数k 使ali kalj l 1 2 n 性质3 性质4 推论 性质5 如果把行列式的某一列 行 的每一个元素加上另一列 行 的对应元素的k倍 则所得行列式与原行列式的值相等 由
5、于行列式的整个计算过程方法灵活 变化较多 为了便于书写和复查 在计算过程中约定采用下列标记方法 1 以 r 代表行 c 代表列 2 把第i行 或第i列 的每一个元素加上第j行 或第j列 对应元素的k倍 记作 ri k rj 或 ci k cj 3 互换i行 列 和j行 列 记作 ri rj 或 ci cj 性质6 0 4 3 2 0 1 1 1 0 4 4 7 0 0 1 6 0 0 0 11 行列式D等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零 即aj1Ai1 aj2Ai2 ajnAin 0 i j 1 2 n i j 例 按第三行展开计算行列式 性质7 推论 设n元n个方程组为 其系数行列式为 五 克莱姆法则 在系数行列式D中第j列的元素依次改换为b1 b2 bn 得到的行列式记作Dj 即 关于线性方程组 1 的解有下述法则 当线性方程组 1 的系数行列式D 0时 该方程组有且只有唯一解 例 用克莱姆法则解方程组 克莱姆法则 解因为 经计算还可得到 方程组的解为 行列式的概念 行列式的性质 行列式的计算 七 小结 作业 4 克莱姆法则
