线性代数 1.2行列式的性质

1、用消元法解二元线性方程组 一 二阶行列式的引入 第一节二阶与三阶行列式 第1章行列式 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排称列 的数表 定义 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 例如 与方程组的关系 如不讲则转到第10页 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意分母都为原方程组的系数行列式 例1 解 二 三阶行列式 。

2、第1 4节拉普拉斯展开定理 例如 一 余子式与代数余子式 简化高阶行列式计算的一个重要方法就是降低行列式的阶数 定义 在阶行列式中 把元素所在的第行和第列划去后 余下的阶行列式叫做元素的余子式 记作 叫做元素的代数余子式 例如 定理 行列式。

3、 上次课 本次课 行列式的性质 n阶行列式的定义 第2次课 行列式按行按列展开 行排定义 列排定义 本次课 2 的教学要求 1 理解行列式的性质 并能熟练用于计算行列式 2 理解行列式按行 列 展开定理 并能熟练应用 性质1 行列式称为行列式的转置行列式 设 第三节行列式的性质 一 行列式的性质 证明 按定义 性质1 性质2互换行列式的两行 行列式变号 证明 列 要证 则有 故 例如 推论如果行列。

4、1第二节 行列式的性质与计算教学目标：使学生掌握行列式的性质；使学生熟练掌握行列式的计算.教学重点：行列式的性质、行列式的展开.教学难点：行列式的展开;n 阶行列式的计算.教学关键：使学生明确行列式的计算方法:一个是利用性质来把行列式化简为上三角行列式;一个是按行按列展开为低阶的行列式来计算；但在实际计算过程中 ,往往结合起来使用.教学方法：启发式教学法教学时数：2 课时教学过程： 第一环节：新课引入第二节 行列式的性质与计算第二环节：讲授新课2.1 行列式的性质考虑 将它的行依次变为相应的列，得121212nnnaaD 121212n。

5、5 行列式的性质,一、定义,二、行列式的性质,三、应用举例,一、定义,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,二、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,互换行列式的两行 ,行列式变号.,（列）,性质2,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质。

6、大学文科数学之线性代数与概率统计,北京师范大学珠海分校国际特许经营学院与不动产学院2004-2005学年第二学期欧阳顺湘 2005.3.10,主页：http:/172.20.7.30/ouyang/电话：6126101,不动产学院 房地产经营管理,国际特许经营学院 特许经营管理专业,两个教学班成绩比较,教学计划,教材：张国楚等编大学文科数学第八章线性代数概述（6周）第七章概率统计初步（11周）,要求,作业：每两次或每两周交一次，作业本请写学号,作业要自觉认真完成上课不要迟到，不要缺席，珍惜上课时间,线性代数初步行列式定义、性质及其计算,欧阳顺湘北京师范大学珠海分。

7、1第二节 行列式的性质与计算2.1 行列式的性质考虑 将它的行依次变为相应的列，得121212nnnaaD 121212nTnnaaD 称 为 的转置行列式 .TD性质 1 行列式与它的转置行列式相等.（ ）T事实上，若记 则121212nTnnbb (,12,)ijjian12()nnpTppDb 1212() .nnpppD 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质 2 互换行列式的两行( )或两列( )，行列式变号.ijrijc例如 131230865.5086推论 若行列式 有两行（列）完全相同，则 .D0D证明: 互换相同的两行, 则有 , 所以 . 性质 3 行列式某一行（列）的所。

8、第三节行列式的性质 性质1 说明行列式中 的转置行列式 例如 它的转置行列式 行列式的性质中 凡是对行成立的 行与列的地位相同 对列也成立 行列式等于 性质2 行列式 交换 行列式的 两行 变号 两列 推论 证明 交换相同的两行 则这个行列。

9、1.5行列式按行(列)展开定理,代数余子式的定义,引理,证,定理3 (展开定理） 行列式等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,推论,例1,解：,求D=?,分析：特点是n行作和为 0，0，01，再展开 即可降阶！,解：D,有些问题可以用升阶法！,综述：行列式计算归纳为,1。二三阶行列式可用对角线法则直接计算。,2。某些特殊行列式观察其特点用行列式定义及其性质进行计算。,3。把所给行列式化为上三角或下三角行列式进行计算。（计算机就是如此做！）,4。利用降阶法将高阶行列式化为低阶行列式计算（或升阶法把低阶行列式化为。

10、 5行列式的性质 一 行列式的性质 行列式称为行列式的转置行列式 若记 则 记 性质1行列式与它的转置行列式相等 即 性质1行列式与它的转置行列式相等 证明 根据行列式的定义 有 若记 则 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行。

11、线性代数,行列式 矩阵 N维向量空间 线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 实二次型,第一章 行列式,n阶行列式的定义 n阶行列式的性质 n阶行列式的计算,用消元法解二元线性方程组,二三阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）外加两竖线的数学符号,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,三阶行列式,定义,称为三阶行列式.,由九个数排成三行三列外加两竖线。

12、 第1 3 4节 行列式的应用 一克拉默法则本小节以行列式为工具 研究解线性方程组求解的问题 设n个未知量n个方程的线性方程组为 1 15 a11a22a1na21a22a2nan1an2ann D 1 17 它的系数构成的行列式D称为方程。

13、第二节 n阶行列式的性质,本节介绍行列式的一些性质，并以此来解决 一般 n 阶行列式的简化计算问题。,对 n 阶行列式,一、行列式的性质,为行列式,的转置行列式（Transpose）。,行列式与它的转置行列式相等。,不难用归纳法去证明，证明过程略。,称行列式,性质1,性质1说明，行列式中行和列的地位是对称的。,设行列式,证,互换行列式中两行(列)，行列式值变号。,性质2,1） 当 n=2 时,显然,2）假设对阶数为 n-1 的行列式，结论成立，下证对 n（3）阶行列式命题结论也成立。,下面用数学归纳法证明：,位置互换外，其余各行均相同。,都按第 k 行展开。

14、第三节 行列式的性质,用于化简和计算行列式用于理论推导和证明,设,则称,为D的转置行列式，记为 。,性质1 行列式等于它的转置行列式，即,证明 记 则,由性质1，行与列的地位是对称的，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。以下的叙述与证明只对行给出。,性质2 两行（列）互换，行列式值改变符号，即,证明 记等式右边的行列式为D,它的第 i, j 行互换，得到等式左边的行列式，记为D1。注意D1的第 i, j 元素行指标依次为 j, i, 可得,证明 设行列式的第 i, j 两行元素对应相等。由性质2，这两行互换，可得 D = D，所以 D = 0,性质3 两行(列)相。

15、1,主讲教师:李晓飞,线性代数,2,一、 余子式和代数余子式,二、 行列式按一行（列）展开,第三节,行列式的计算,第一章,3,剩下元素按原来相对位,一、余子式和代数余子式,4,代数余子式。,称,得 aij 的余子式,5,例如,6,二、行列式的展开定理,定理,行列式D的任一行（列）的每个元素,与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值；,行列式D的任一行（列）的每个元素与另一行（列）,相应元素的代数余子式的乘积之和为零。,或按 j 列展开,按 i 行展开,7,即按 i 行展开,或按 j 列展开,8,例1,计算,解,9,例2 计算下列行列式的值,10,例3 计算行列式,11。

16、2020 4 12 共12页 1 1 3 3 对于阶数较高的行列式 直接利用行列式的定义计算并不是一个可行的方法 为解决行列式的计算问题 应当利用行列式性质进行有效的化简 化简的方法不是唯一的 具体问题具体分析 例1已知下三角行列式D1和上。

17、1 主讲教师 李晓飞 线性代数 2 第一章 一 行列式的概念 三 行列式的计算 四 克莱姆法则 行列式 二 行列式的基本性质 3 第一节n阶行列式概念 一 二阶与三阶行列式 二 n阶行列式定义 4 一 二阶与三阶行列式 二元线性方程组 由消元法 得 得 同理 得 于是 当 时 方程组有唯一解 1 二阶行列式 5 由方程组的四个系数确定 定义 表达式 a11a22 a12a21 称为四个数字所确定的。

18、行列式的性质,音乐,第二节,2,1、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,DT=D,证略,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,，,3,性质2 交换行列式的两行(列),行列式的值变号.,例如,证略,推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,4,性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式, 即,证略,说明 行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子, 可以提到行列式符号的外面,推论 如果。

19、1,1.2 行列式的性质,性质1. 行列式与它的转置行列式相等.,转置：行列 互换,【评注】性质1表明，行列式的行与列有相同的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。,(详细证明见教材),2,性质2. 互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.,3,推论：如果行列式某两行（列）对应元素相同，则行列式的值为零。,例1 计算,如,4,性质3. 如果行列式某行(列)所有元素都乘数 k，等于数 k 乘此行列式。,推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面,推论2 行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为0 .,5,例2 计算,推。