1、 上次课 本次课 行列式的性质 n阶行列式的定义 第2次课 行列式按行按列展开 行排定义 列排定义 本次课 2 的教学要求 1 理解行列式的性质 并能熟练用于计算行列式 2 理解行列式按行 列 展开定理 并能熟练应用 性质1 行列式称为行列式的转置行列式 设 第三节行列式的性质 一 行列式的性质 证明 按定义 性质1 性质2互换行列式的两行 行列式变号 证明 列 要证 则有 故 例如 推论如果行列式有两行 列 完全相同 证明 互换相同的两行 有 则此行列式为零 性质3 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 证明 比如 要计算 再如 要计算 性质 行列式中如果有两行
2、 列 对应元素成比例 证明 则此行列式为零 性质5 1 性质5 2 性质 1 性质 2 例 计算行列式的基本方法 二 行列式性质应用举例 上三角化 计算行列式的主要手段 解 例 解 例2计算阶行列式 解 将第都加到第一列得 例3 证明 证明 例4 解 注意 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质 行列式的6个性质 三 小结 例如 第四节行列式按行 列 展开 一 余子式与代数余子式 叫做元素的代数余子式 例如 引理一个阶行列式 如果其中第行所有元素除外都为零 那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积 即 例如 即有 又
3、 从而 对于一般情形 得 对于一般情形 设 得 得 定理 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 证 二 行列式按行 列 展开 例1 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证 关于代数余子式的重要性质 证 用数学归纳法 例2 证明范德蒙德 Vandermonde 行列式 n 1阶范德蒙德行列式 解 例3 计算 对行列式按第一行展开 得 解 例3 计算 对行列式按第一行展开 得 解 例3 计算 对行列式按第一行展开 得 解 例3 计算 对行列式按第一行展开 得 解 例3 计算 对行列式按第一行展开 得 解 对行列式按第一行展开 得 递推法 行列式按行 列 展开是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 三 小结 思考题 利用行列式性质 计算4阶行列式 思考题解答
