1、第三节 行列式的性质,用于化简和计算行列式用于理论推导和证明,设,则称,为D的转置行列式，记为 。,性质1 行列式等于它的转置行列式，即,证明 记 则,由性质1，行与列的地位是对称的，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。以下的叙述与证明只对行给出。,性质2 两行（列）互换，行列式值改变符号，即,证明 记等式右边的行列式为D,它的第 i, j 行互换，得到等式左边的行列式，记为D1。注意D1的第 i, j 元素行指标依次为 j, i, 可得,证明 设行列式的第 i, j 两行元素对应相等。由性质2，这两行互换，可得 D = D，所以 D = 0,性质3 两行(列)相同,行列式值为零。,性质4 一
2、行（列）所有元素的公因子可提到行列式记号之外。,证明 设行列式 D1 的第 i 行元素有公因子 k, 则,推论 有零行(列)的行列式之值为零。,性质5 两行（列）元素成比例，行列式之值为零。,证明 不妨设第 j 行元素分别是第 i 行对应元素的 k 倍，则,性质6 若有一行（列）是两组数之和，则行列式可按这行（列）分解为两个行列式之和，即,证明 左边,性质7 一行（列）乘以一个数加到另一行（列）上，行列式之值不变，即,证明 左边,例1 计算,解 第2, 3, 4列 (乘以1) 加到第1列上, 提取第1列的公因数6, 得,第1行乘以 -1 加到下面三行, 得上三角行列式, 从而有,例2 证明奇数阶反对称行列式为零。 解 n 阶反对称行列式形如,当行列式第(i, j)元总等于第(j, i)元时，称之为反对称行列式。,每行提取公因数 -1，得,所以有 Dn = 0 。,
