1、 第1 3 4节 行列式的应用 一克拉默法则本小节以行列式为工具 研究解线性方程组求解的问题 设n个未知量n个方程的线性方程组为 1 15 a11a22a1na21a22a2nan1an2ann D 1 17 它的系数构成的行列式D称为方程组 1 15 的系数行列式 定理1 7如果方程组 1 15 的系数行列式不为零 则该方程组有惟一解 1 18 这里Dj j 1 2 n 是把方程组的常数项b1 b2 bn依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n阶行列式 这个定理称为 克拉默 B Cramer 法则 例解线性方程组 解 系数行列式 由于系数行列式不为0 所以可以用克拉默法则 方程组有惟一解 推
2、论 若方程组中常数项全为零 齐次线性方程组 且D不等于零 则该方程组有唯一零解 例 K为何值时 下列方程组只有零解 只有零解 二 行列式求逆矩阵 前面给出了逆矩阵的概念以及用行初等变换求逆矩阵的方法 利用行列式还可给出判明可逆阵的一个简单条件 并给出逆阵的一个公式 定理1 8设A是n阶矩阵 A 为其转置伴随矩阵 则有 AA A A A I 1 23 定理1 9n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是detA 0 此时有方阵A的逆阵公式 1 24 所以矩阵A是可逆 解 例 判断下列矩阵是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 2020年4月12日星期日 共17页 9 下面求A 1 解 所以 2020年4月12日星
3、期日 共17页 10 解 所以 所以 求逆矩阵 1 初等行变换法 2 利用行列式与转置伴随阵的方法 与克拉默法则一样 逆方阵也可以用于讨论线性方程组解的存在惟一性 系数矩阵A是方阵 AX bA 1AX A 1bIX A 1bX A 1b由于逆方阵的存在惟一性 上式就是方程组的惟一解 用逆方阵求解线性方程组的方法 可以推广到求解含有未知矩阵的矩阵方程 例 设 A B 且AX B 求矩阵X 分析 因为detA 1 所以A可逆 将AX B两边同时左乘A 1 得到 A 1A A 1B 即 IX A 1B X A 1B 先求A 1 计算A中各元的代数余子式 A11 1 A12 5 A13 1 A21 0
4、 A22 3 A23 1 A31 1 A32 7 A33 2 则有 练习 求以下矩阵的逆矩阵 解 2020年4月12日星期日 共17页 15 练习 解 由对角矩阵的性质知 2020年4月12日星期日 共17页 16 其中 都是方阵 称A为分块对角矩阵 分块对角阵的一些性质 定理1 10 设 2020年4月12日星期日 共17页 17 则 2020年4月12日星期日 共17页 18 例 设 求 解 行列式的应用 G Cramer法则 系数行列式不为 方程组有惟一解 行列式和伴随矩阵与逆矩阵的关系 求逆矩阵的一种方法 小结 2020年4月12日星期日 共17页 20 作业 P36 371 16 2 1 17 1 25
