1、1第二节 行列式的性质与计算2.1 行列式的性质考虑 将它的行依次变为相应的列，得121212nnnaaD 121212nTnnaaD 称 为 的转置行列式 .TD性质 1 行列式与它的转置行列式相等.（ ）T事实上，若记 则121212nTnnbb (,12,)ijjian12()nnpTppDb 1212() .nnpppD 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质 2 互换行列式的两行( )或两列( )，行列式变号.ijrijc例如 131230865.5086推论 若行列式 有两行（列）完全相同，则 .D0D证明: 互换相同的两行
2、, 则有 , 所以 . 性质 3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 ，等于数 乘以此行列式，即kk1211211212nniiiiiinnnnaaakkaaa 推论：(1) 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；D2(2) 中某一行(列)所有元素为零，则 ；D0D性质 4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零性质 5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即.112112niiiiinnnaabbaa 12112ni
3、iinnaa 12112niiinnaabbaa 证: 由行列式定义 1212()()niinppppDb 12 1212 12() () .n nin inpppaaaba 性质 6 行列式 的某一行（列）的各元素都乘以同一数 加到另一行（列）的相应元k素上，行列式的值不变 ，即()ijrkD12112ijnrkiinnaaaa 112112nijijijnnnaakkaa 计算行列式常用方法: 利用性质 2,3,6, 特别是性质 6 把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值例 1: 计算行列式 2343112() ()05D解: 2112 332408()3605
4、5rr 3.433241 085812280566437029rr 1431()58269.412 12,34130()662i ir riD 6(12)48此方法称为归边法.例 2: 计算 n 阶行列式 121() (2)(0,1,)n nniaxaDDaxa 解: (1)(箭形行列式)1232,3100irni nDaa 2211100nna 1 2231, 00ic ianin na 23121221()()nnni iaa (2) 注意到行列式各行元素之和等于 ,有xa12,3()()icnixaxD 1()axn 4.12,3100()irinaxxa 1()nxnax例 3: 设1
5、11110,kkknnnkaDcb 11,kkkaD 112,nnbD证明: 12.证: 对 作行运算 , 把 化为下三角形行列式:Dijrk1D110;kkkpp 对 作列运算 , 把 化为下三角形行列式:2Dijc2D1210.nnnkqqp 先对 的前 k 行作行运算 , 然后对 的后 列作列运算 , 把 化为DijrDnijckD下三角形行列式: 1110,kknnknpDcq 故, .1112kpqD 思考练习1.计算行列式511222512374(1)() ()946nnnaaDD2.证明 1111122222abcabc3. 证明 22222222(1)()(3)(1)4) 0(
6、)()()aaabcebbdacdfccff dd 4.计算行列式 234326106abcabcDad答案 13452734.()96cD32 4345215201031()390r r 12 12,3 ,(2) 0icnnananD 2.左边= 211111122 222cabbcaa32111112222cccabba213 23,5152306rr r6.23 121212 2c ccabba12abc3. 证 (1)左边1abcdef213102rabcdef3102rabcdef4.abcdef(2)左边 右边122,34469iccdd324 6102cd4. 解: 从第 4 行
7、开始，后行减前行得，0236abcabcD432r023abcabc43r02abcdabc4a2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：12133a23213213aaa可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式定义：在 阶行列式 中，划去元素 所在的第 行和第 列，余n121212nnnaaD ijaij下的元素按原来的顺序构成的 阶行列式，称为元素 的余子式，记作 ；而ij ijM7称为元素 的代数余子式.(1)ijijiAMija例如 三阶行列式 中元素 的余子式为12133a
8、ija12233aM元素 的代数余子式为23a23223()A四阶行列式 中元素 的代数余子式为10153xx32321()05A二、行列式按行（列）展开定理 阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的n121212nnnaaD 代数余子式的乘积之和，即 12(1,2)iiinjjjaAaAnD 中证 （1）元素 位于第 一 行、第 一 列，而该行其余元素均为零;1a此时 2120nnDaa 12 1212 121 1() ()n nn nj jjj jjj aa 2223()1()nnnjjjj 1M而 ,故 ; 11AMDA（2）1100jnijnnjnaaDaa 将 中第 行依次
9、与前 行对调，调换 次后位于第一行 ;i1i1i8将 中第 列依次与前 列对调，调换 次后位于第一列;Dj1j1j经 次对调后， 就位于第 一 行、第 一 列，即(1)2iiija.2()()ij ijij ijijDMaA(3) 一般地 112112000ni i innnaaDaaa 1211211211212120000nn ni i innnnnnaaaaaa iiiaAaA.12jjnjDa中推论 n 阶行列式 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对121212nnnaa 应的代数余子式的乘积之和为零，即 120()isisinsjtjtjtAAisaajt中证 考虑辅助行列式 1
10、11122221jjnnnjnjnaaDi 中该行列式中有两列对应元素相等.而 ，所以12)tjtjtnjtaAaA中 中 10D9.12)0jtjtnjtaAaA 中关于代数余子式的重要性质1,;nkijijDij1,0;nikjijDijaA1,0.ijij中中在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成 n 个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的
11、性质将某一行（列）化为仅含 1 个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例 4: 计算四阶行列式 .123405D解: 314220467cD212467中 12()14627r.12213059c 1359中1 4例 5 已知 4 阶行列式 41243022, . .753 ijijDMMa求 的 值 其 中 为 的 余 子 式解: (方法 1) 直接计算 4(,),.iA中(方法 2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.104124314234412434()1MAAA.071010238例 6: 计算
12、阶行列式n00102(1) (2)100n nxyDDxyny 解：11211()n naAaA中1 100() ()000nxyyxxyyx .1()nnxy11211(2)n nDaAaA中.1 100() ()!200n nn 例 7: 计算四阶行列式 .400ababD解: 按第 1 行展开，有,14400() ()0 0ababDab 11对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得.22()()abDab42ab例 8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde),121()(2)nn ijjinnxxxn 其中 表示所有可能的 的乘积.1()ijjinx ()iji中证:
13、 (用数学归纳法)时, 结论正确;2211,Dx假设对 n-1 范得蒙行列式结论成立，以下考虑 阶情形.n213112211123110 nnnnnxxxD2131122213110()()()nnnnxxx.112()niix中 232nnx 1()ijjinx例 9 用范德蒙行列式计算 4 阶行列式137569241D解 ：对照范德蒙行列式，此处 2344,7,5xx12所以有 14()ijjiDx213141324243()()()()xxxx.3754757068第三环节：课堂练习练习:已知 4 阶行列式 1423417380, . .25 ijijDAAa求 的 值 其 中 为 的 代 数 余 子 式解: (方法 1) 直接计算 4(,),.i中(方法 2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.14234142341AAA它是 中第 2 列元素与第 4 列元素的代数余子式的乘积之和，故有D14340.
