竞赛讲座22因式分解

1、 初二级竞赛专题 因式分解 一 重要公式 1 a2 b2 a b a b an 1 a 1 an 1 an 2 an 3 a2 a 1 2 a22ab b2 ab 2 3 x2 a b x ab x a x b 4 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 二 因式分解的一般方法及考虑顺序 1 基本方法 提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 2 常用方法与技。

2、学优中考网 www.xyzkw.com初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解甲内容提要 和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法1 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例 1 因式分解：x 4+x2+1 a 3+b3+c33abc分析：x 4+1 若添上 2x2 可配成完全平方公式解：x 4+x2+1x 4+2x2+1x 2=(x2+1)2x 2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a 3+b3 要配成（a+b） 3 应添上两项 3a2b+3ab2解：a 3+b3+c33abca 3+3a2b+3ab2b 3+c33abc3a 2b3ab 2（a+b） 3+c33ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b) 2(a+b。

3、第三讲 因式分解 1第三讲 因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法【例 1】将 x4+8 分解因式正确的是（ ）A、 （x 416） B、 （x 2+4） （x 24）C、 （x 2+4） （x+2） （x 2） D、 （x 2+2） （x 22） 2考点：因式分解-运用公式法。分析：先提取公因式，然后套用公式 a2b2=（a+b） （a b） ，再进一步分解因式解答：解：x 4+8，=（x 416） ，=（x 24） （x 2+4） ，=（x2） （x+2） （x 2+4） 故选 C点评：本题考查了用公式法进行因式分。

4、第 10 讲 因式分解综合运用知识总结归纳每道复杂问题的解法都可以分成若干步，每一步都是一个简单的问题。因此，要解决复杂问题，首先要解决简单的问题。彻底、纯熟地掌握前面所说的基本方法，即提取公因式、运用公式、分组分解、拆项添项、十字相乘法， “难题”也就不难了。典型例题一. 换元法例题 1 分解因式： 27836x例题 2 分解因式： 244)()()(baba例题 3 分解因式： 44)(a例题 4 分解因式： 27)3()1(44y例题 5 分解因式： )53(4)()1(3yy例题 6 分解因式： 2222 )84(3)84( xxx例题 7 证明：四个连续整数的的乘积加 1 是整数的平方.。

5、 1因式分解1、公式法运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；例 2 分解因式：a 3+b3+c3-3abc序号 公式 记忆特征1 x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) （十字相乘法）(1) 常数项两数积(2) 一次项系数两数和(3) 二次项系数为 12 a2-b2 = (a-b)(a+b)（平方差公式）3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2（完全平方公式）4 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2（完全平方公式扩展）(1) 三数平方和(2) 两两积的 2 倍5a3+3。

6、1因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用。一、利用因式分解判断整除性例 1 2n1 和 2n+1 表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8 整除证明 (2n1) (2n 1) =(2n12n1)(2n12n1)22=4n2=8n 这两个连续奇数的平方差能被 8 整除例 2 x +y +z 3xyz 能被(x+y+z) 整除3证。

7、第 10 讲 因式分解综合运用知识总结归纳每道复杂问题的解法都可以分成若干步，每一步都是一个简单的问题。因此，要解决复杂问题，首先要解决简单的问题。彻底、纯熟地掌握前面所说的基本方法，即提取公因式、运用公式、分组分解、拆项添项、十字相乘法， “难题”也就不难了。典型例题一. 换元法例题 1 分解因式： 27836x例题 2 分解因式： 244)()()(baba例题 3 分解因式： 44)(a例题 4 分解因式： 27)3()1(44y例题 5 分解因式： )53(4)()1(3yy例题 6 分解因式： 2222 )84(3)84( xxx例题 7 证明：四个连续整数的的乘积加 1 是整数的平方.。

8、谭老师数学教育园地 电话：13907732480 QQ：846274582 欢迎大家一起交流八年级数学竞赛讲座 因式分解的方法一、知识结构：1、因式分解的意义以及它与整式乘法的区别和联系；2、因式分解的方法：（1）提取公因式法：提的是系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积；（2）公式法：平方差公式；完全平方公式；立方和（差）公式；（3）十字相乘法：二次项系数为 1 和不为 1 两种；（4）分组分解法；（5）添折项、配方法、换元法、待定系数法等；3、因式分解的一般步骤及注意点：先看公因式；然后看项数；二项式：平方差及立方和（差）；三项。

9、谭老师数学教育园地 电话：13907732480 QQ：846274582 欢迎大家一起交流八年级数学竞赛讲座 因式分解的应用例题：1、已知 ， ，求（1） ；（2） ；2ba83)(ba323abba2、已知 ，求 的值；2ba336ba3、设 ，求 的值；zxy2xzy49224、已知 ，求 x+y 的值；051642yxyx5、当 时，求 的值；2,143zyxzyx 222 8103zyxzyx6、已知 ，kckbka201,20,203求代数式 的值；ab谭老师数学教育园地 电话：13907732480 QQ：846274582 欢迎大家一起交流7、若 a、b、c 满足 ，那么代数式 的最大值；922cb 222)()()(acba8、已知 求 ab+cd 的值；,0,1,22 bdaccba9、已。

10、 . . 学习参考因式分解1、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头! 启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾：1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因。

11、 1因式分解1、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头! 启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾：1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用。

12、第二十讲 因式分解(二)1双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按 x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于 x 的二次三项式对 于 常 数 项 而 言 ， 它 是 关 于 y 的 二 次 三 项 式 ， 也 可 以 用 十 字 相 乘 法 ， 分 解为即来源:gkstk.Com-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+。

13、专题四 因式分解与方程一、基本知识和方法1. 因式分解将一个多项式写成一个或几个多项式相乘的形式，称为因式分解。习惯上，我们要求因式分解的结果中的多项式为既约多项式。既约多项式也称为不可约多项式，不能分解为次数更低的多项式的乘积。如果一个多项式能够分解为次数更低的多项式的乘积，那么这个多项式称为可约多项式 1。即约多项式的判定依赖于多项式所在的数集。在较小的数集上既约的多项式，在较大的数集上可能是可约的。例如，多项式 在整数上是既约的，但是在实数上可以分解为2x；多项式 在整数与实数上都是既约的，但是在复。

14、第十九讲 因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍 1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即。

15、谭老师数学教育园地 电话：13907732480 QQ：846274582 欢迎大家一起交流八年级数学竞赛讲座 因式分解知识点因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根） 、因式分解一般步骤。大纲要求理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。考查重点与常见题型考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习。

16、因式分解【例 1】 分解因式： 2222(48)3(48)xxx提示:将 看成一个字母，可利用十字相乘u【例 2】 (“希望杯”培训试题)分解因式： 22(5)(3)12xx【 方法 1：将 看作一个整体， 设 ，则25xt方法 2：将 看作一个整体， 设 ，则方法 3：将 看作一个整体，3【巩固】 分解因式：(1)3(5)71xx(1)2(3)42aa【例 3】 分解因式： 22224(31)(3)(4)xxx提示:可设 ，则 . ,AB4AB【巩固】 分解因式： 2(2)()(1)abab【例 4】 (重庆市竞赛题)分解因式： 44(1)(3)27x当堂训练:1 .分解因式 x3242.求证：多项式 的值一定是非负数()xx241023.在 中，三边 a,b,c 满。

17、1竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a 2b 2=(ab)(ab)；a n1=(a1)( an-1a n-2a n-3 a 2a1)2、a 22abb 2=(ab)2；3、x 2(ab)xab=(xa)(xb);4、a 3b 3=(ab)(a 2abb 2); a3b 3=（ab）(a 2abb 2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；1、添项拆项例 1因式分解：（1）x 4x 21； （2）a 3b 3c 33abc（1）分析：x 41 若添上 2x2可配。

18、第二讲 因式分解(二)1双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按 x 降幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于 x 的二次三项式对于常数项而言，它是关于 y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x- 11y+1)上述因式分解的过程，实。

19、竞赛讲座 22-因式分解因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法.1.添项.拆项法添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点.例 1 （1986 年扬州初一数学竞赛题）分解因式（1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1。