1、1竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a 2b 2=(ab)(ab)；a n1=(a1)( an-1a n-2a n-3 a 2a1)2、a 22abb 2=(ab)2；3、x 2(ab)xab=(xa)(xb);4、a 3b 3=(ab)(a 2abb 2); a3b 3=（ab）(a 2abb 2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；1、添项拆项例 1因式分解：（1）x 4x 21；
2、（2）a 3b 3c 33abc（1）分析：x 41 若添上 2x2可配成完全平方公式解：x 4x 21x 42x 21x 2=(x21) 2x 2=(x21x)(x21x)（2）分析：a 3b 3要配成（ab） 3应添上两项 3a2b3ab 2解：a3b 3c 33abca 33a 2b3ab 2b 3c 33abc3a 2b3ab 2=(ab) 3c 33ab(abc)=(abc)(ab) 2(ab)cc 23ab(abc)=(abc)(a 2b 2c 2abacbc)例 2因式分解：（1）x 311x20； （2）a 5a1（1）分析：把中项11x 拆成16x+5x 分别与 x5,20组
3、成两组，2则有公因式可提。 （注意这里 16是完全平方数）解：x 311x20x 316x5x20x(x 216)5(x4)=x(x4)(x4)5(x4) =(x4)(x 24x5)（2）分析：添上a 2 和 a2两项，分别与 a5和 a1 组成两组，正好可以用立方差公式解：a 5a1a 5a 2a 2a1=a 2(a31)a 2a1=a2(a1)( a 2a1)a 2a1=(a 2a1)(a 3a 21)2、待定系数法例 3因式分解 2x23xy9y 214x3y20解：2x 23xy9y 2=(2x3y)(x3y),故用待定系数法，可设 2x23xy9y 214x3y20=(2x3ya)(
4、x3yb)，其中 a,b是待定的系数，比较右边和左边的 x和 y两项的系数，得解得 3142ba54ba2x 23xy9y 214x3y20=(2x3y4)(x3y5)另解原式=2x 2(3y14)x(9y 23y20)，这是关于 x的二次三项式常数项可分解为(3y4)(3y5),用待定系数法，可设 2x2(3y14)x(9y 23y20)=mx(3y4)nx(3y5)比较左、右两边的 x2和 x项的系数，得 m=2, n=12x 23xy9y 214x3y20=(2x3y4)(x3y5)3、重点定理1、余式定理：整系数多项式 f(x)除3以(x-a)商为 q(x)，余式为 r，则 f(x)=
5、(x-a)q(x)+r。当一个多项式 f(x) 除以(x a) 时， 所得的余数等于 f(a)。例如：当 f(x)=x2+x+2 除以 (x 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4。2、因式定理：即为余式定理的推论之一：如果多项式 f(a)=0，那么多项式 f(x)必定含有因式 x-a。反过来，如果 f(x)含有因式 x-a，那么，f(a)=0。四、填空题1、两个小朋友的年龄分别为 a和 b，已知 a2ab=99，则 a= ，b= 。2、计算：(x6) 2(x6) 2=(x236) 2 。3、若 xy=4，x 2y 2=10，则(xy) 2= 。4、分解因式：a 2b 24a2b3= 。
6、5、分解因式：4x 331x15= 。6、分解因式：x 41987x 21986x1987= 。五、选择题7、x 2yy 2zz 2xx 2zy 2xz 2y2xyz 因式分解后的结果是（ ） 。4（A）(yz)(xy)(xz) （B）(yz)(xy)(xz)（C）(yz)(xy)(xz) （D）(yz)(xy)(xz)8、已知 7241 可被 40至 50之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ） 。（A）41，48 （B）45，47 （C）43，48 （D）41，479、n 为某一自然数，代入代数式 n3n 中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（ ） 。（A）3889
7、44 （B）388945 （C）388954 （D）388948六、将下列各式分解因式10、x 4x 2y2y 4 11、x 4412、x 423x 2y2y 4 13、x 34x 2914、x 341x30 15、x 35x 21816、x 33x 2y3xy 22y 3 17、x 33x 23x7518、x 39ax 227a 2x26a 3 19、x 36x 211x620、a 3b 33(a 2b 2)3(ab)221、3x 37x10 22、x 311x 231x21七、解答题23、已知 xy4 是 x2y 2mx3y4 的一个因式，求 m的值。24、求方程 xyxy1=3 的整数解。解：原方程可化为(x1)(y1)=3x，y 整数,6原方程可化为四个方程组:x1=1 x1=3 x1=1 x1=3y1=3 y1=1 y1=3 y1=1解得：（x,y）的解为(2,4)、(4,2)、(0,2)、(2,0)
