1、 1因式分解1、公式法运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；例 2 分解因式：a 3+b3+c3-3abc序号 公式 记忆特征1 x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) （十字相乘法）(1) 常数项两数积(2) 一次项系数两数和(3) 二次项系数为 12 a2-b2 = (a-b)(a+b)（平方差公式）3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2（完全平方公式）4 a2+
2、b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2（完全平方公式扩展）(1) 三数平方和(2) 两两积的 2 倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3（完全立方公式）对照完全平方公式相互加强记忆6 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)(1) 近似完全平方公式(2) 缺项之完全立方公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7 a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-
3、ab-ac-bc) 对照公式 4 相互加强记忆8 an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) n=整数（平方差公式扩展）(1) 短差长和；(2) a 指数逐项递减 1；(3) b 指数逐项递增 1；(4) 长式每项指数和恒等于 n-1。9 an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=偶数（立方差公式扩展）(1) 短式变加长式加减相间；(2) a 指数逐项递减 1；(3) b 指数逐项递增 1；(4) 每项符号 b 指数决定偶加奇减。10 an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-
4、+abn-2-bn-1) n=奇数（立方和公式扩展） 对比公式 9 的异同2说明本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b3+c3-3abc显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当 a+b+c0 时，则 a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当 a=b=c 时，等号成立如果令 x=a30，y=b 30，z=c 30，则有等号成立的充要条件是 x=y=z这也是一个常用的结论变式练习 分解因式：x 15+x14+x13+x2+x+12
5、拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例 3 分解因式：x 3-9x+8变式练习1 分解因式：(1)x 9+x6+x3-3； (2)(m 2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a 3b-ab3+a2+b2+133换元法换元法指的是将一个较复杂
6、的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例 4 分解因式：（1） (x 2+x+1)(x2+x+2)-12 （2） (x 2+3x+2)(4x2+8x+3)-90变式练习1.分解因式： (x 2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x24双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按 x 降幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-3
7、5y+3)，可以看作是关于 x 的二次三项式对于常数项而言，它是关于 y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：4它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3这就是所谓的双十字相
8、乘法用双十字相乘法对多项式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x 2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y 2+x-y-2；(4)6x 2-7xy-3y2-xz+7yz-2z22求根法我们把形如 anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n 为非负整数)的代数式称为
9、关于 x 的一元多项式，并用 f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)=x 2-3x+2，g(x)=x 5+x2+6，当 x=a 时，多项式 f(x)的值用 f(a)表示如对上面的多项式 f(x)f(1)=1 2-31+2=0；f(-2)=(-2) 2-3(-2)+2=12若 f(a)=0，则称 a 为多项式 f(x)的一个根定理 1(因式定理) 若 a 是一元多项式 f(x)的根，即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x)有一个因式 x-a根据因式定理，找出一元多项式 f(x)的一次因式的关键是求多项式 f(x)的根对于任意多项式 f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式 f(
10、x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根5定理 2 的根，则必有 p 是 a0的约数，q 是 an的约数特别地，当 a0=1 时，整系数多项式 f(x)的整数根均为 an的约数我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解例 2 分解因式：x 3-4x2+6x-4变式练习1. 分解因式：9x 4-3x3+7x2-3x-23待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母
11、来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法例 3 分解因式：x 2+3xy+2y2+4x+5y+3变式练习1.分解因式：（1）x 4-2x3-27x2-44x+7 （2）(x 2+xy+y2)-4xy(x2+y2)五、 真题精解：1、已知多项式 ax3+bx2+cx+d 除以 x-1 时的余数是 1，除以 x-2 时的余数是 3，那么，它除6以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？（第 12 届“希望杯”试题）2、
12、k 为何值时，多项式 x2-2xy+ky2+3x-5y+2 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）3、如果 x3+ax2+bx+8 有两个因式 x+1 和 x+2，求 a+b 的值。 （美国犹他州中学竞赛试题）4、下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） （第 8 届“希望杯”试题）A. (x+1)(x-1)=x2 B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1) D. m2-2m-3=m(m-2-3/m)5、下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有（ ） （第 10 届“希望杯”试题）a2b2-a2-b2-1 x 3-9ax2
13、+27a2x-27a3 x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b 3m(m-n)+6n(n-m) (x-2) 2+4x A. B. C. D. 6、设 bc，且满足( )(a-b)+ (b-c)=a-c，则 的值（ ） （第 12 届“希望杯”试3+1 2题）A.大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 正负号不确定7、已知 x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数 a 的个数是（ ）A.3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 （第 7 届“希望杯”试题）8、y-2x+1 是 4xy-4x2-y2-k 的一个因式，则 k 的值是（ ） （第 1
14、4 届“希望杯”试题）A. 0 B. -1 C. 2 D. 49、将多项式 x2-4y2-9z2-12yz 因式分解结果是（ ） （第 9 届“希望杯”试题）A. (x+2y-3z)(x-2y-3z) B. (x-2y-3z)(x-2y+3z)C. (x+2y+3z)(x+2y-3z) D. (x+2y+3z)(x-2y-3z)7分解因式：x 2-4y2-9z2-12yz= 。 （第 9 届“希望杯”试题）8分解因式：x 5+x-1= 。 （第 9 届“希望杯”试题）9x 3+3x2-3x+k 有一个因式是 x+1，则 k= 。 （第 10 届“希望杯”试题）10分解因式：xy-1-x+y= 。 （第 10 届“希望杯”试题）7
