不等式证明 教案

1、均值不等式的证明,对于正数n个正数 （ i=1,2.n）。我们把,均值不等式的证明,自上而下分别称为： 调和平均数，（Harmonic Average） 几何平均数，（Geometric mean） 算术平均数，（Arithmetic mean） 平方平均数，（Quadratic mean） 四者有如下关系： 上面不等式称之为：均值不等式,一、现证明 我们观察到 G(n)为很多个数连乘，而。

2、不等式概念及性质,不等式的性质,体现、描述实数大小的规律,1、实数的两个基本性质,（2）任何一个实数的平方不小于零,（1）每两个实数都可以比较大小,2、比较大小的依据,（1）正数的相反数是负数； 负数的相反数是正数,（2）两正数的和仍然是正数,不等式的基本性质,定理1: ab ba (对称性),a+bc的两边同时加上-b得:a+b+(-b)c+(-b)即: ac-b,定理2: ab,bc = ac ( 传递性),定理3: ab a+c b+c ( 移项的依据),推论：ab， cd a+cb+d(相加法则),例1 已知ab，cb-d(相减法则),定理4： ab， c0， =acbc；ab， cacbc,推论1 如果ab 0，且cd0，那么acbd(。

3、6.3 不等式的证明, 比较法证明不等式的依据：,复习,变形,判断符号 判断商与1 的大小,作差 作商, 比较法证明不等式的步骤：,作差法,作商法(a，bR),新课讲解,例已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc,证明： b2c2 2bc，a0, a(b2c2)2abc. ,同理,b(c2a2)2abc. ,c(a2b2)2abc. , a，b，c是不全相等的正数，,b2c22bc，c2a22ac，a2b22ab 三式不能全取“”号, a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc,从而、三式不能全取“”号。,例已知a，b，c为正数，,证明：,a2b2b2c22ab2c ,b2c2c2a22bc2a ,a2b2c2a22ca2b ,由得,2(a2b2b2c2c2a2)2abc。

4、不等式用比较法证明不等式教案教学目标1理解，掌握比较法证明不等式2培养渗透转化、分类讨论等数学思想，提高分析、解决问题能力3锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）教学重点与难点求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点教学过程设计（一）不等式证明的含义师：前面我们已经学习了不等式性质今天我们要以这些性质作为依据研究不等式证明什么是不等式证明呢？（板书）1什么是不等式证明我们通过具体题说明例 1 求证：（2x+1）（3x-2）（5x9）（x-2）。

5、典例分析【例 1】 ， ， 是三角形的三边， .求证： ； abc0mabcm【例 2】 已知 ，求证 .abc11abca【例 3】 已知 ，求证： abc14abca不等式的证明【例 4】 已知 ， ，且 求证： 0ab1ab1254ab【例 5】 若 ，且 ，求证： abcR、 、 1abc118abc【例 6】 设 ，求证： ,abcR1()()4abc【例 7】 已知 ，求证： ,abcR22abcabc【例 8】 已知 ，且 ，求证： ,xyzR1xyz3xyz【例 9】 若半径为 的圆内接 的面积是 ，三边长分别为 ，求证：1ABC14， ，abc ； abcabcabc【例 10】 已知 是互不相等的正数，abc、求证： 222()()()6cabc【例 11】 已知 是一个。

6、不等式用综合法证明不等式教案教学目标1掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理，并能运用它们证明一些不等式2了解综合法的意义3通过对定理及其推论的推导、证明、应用，培养学生运用综合法进行推理论证的能力教学重点和难点用综合法证明定理及推论的教学教学过程设计（一）新课引入师：我们已学过用比较法（求差、求商）证明不等式，它是一种最基本、最常用的方法请完成以下练习1证明：x222x（x 为实数）2请问：x21 与 2x 的大小关系是什么？并证明你的结论（教师巡视学生的解题情况，请学生将不同的解法板演。

7、不等式的证明1比较法作差作商后的式子变形，判断正负或与 1 比较大小作差比较法-要证明 a b,只要证明 a-b0。作商比较法-已知 a,b都是正数，要证明 a b,只要证明 a/b1例 1 求证： x2+33 x证明：( x2+3)-3x=x2-3x+( )2-( )2+3= + 0 x2+33 x例 2 已知 a,bR+，并且 a b，求证a5+b5 a3b2+a2b3证明：( a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) a,bR+ a+b0, a2+ab+b20又因为 a b,所以（ a-b） 20 ( a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0即 ( a5+b5)-(a3b2+a2b3)0 a5+b5 a3b2+a2b3例 3 已知 a,bR+，求。

8、不等式证明不 等 式 的 证 明 ， 基 本 方 法 有 比 较 法 ： （ 1） 作 差 比 较 法 （ 2） 作 商 比 较 法 综 合 法 ： 用 到 了 均 值 不 等 式 的 知 识 ， 一 定 要 注 意 的 是 一 正 二 定 三 相 等 的方 法 的 使 用 。 分 析 法 ： 当 无 法 从 条 件 入 手 时 ， 就 用 分 析 法 去 思 考 ， 但 还 是 要 用 综 合 法去 证 明 。 两 个 方 法 是 密 不 可 分 的 。 换 元 法 ： 把 不 等 式 想 象 成 三 角 函 数 ， 方 便 思 考 反 证 法 ： 假 设 不 成 立 ， 但 是 不 成 立 时 又 无 法 解 出 本 题 ， 于 是 成 立 放 缩 。

9、不等式证明（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、 放缩法：例一、若 a, b, c, dR+，求证： 21 cadb证：记 m = cadba, b, c , dR+ 1 cbdca2dcbam1 2 时，求证： 1)(log)1(lnn证：n 2 0,0og 22)1(log2)1(l)。

10、高等数学中不等式的证明方法张 昊(南京邮电大学吴江职业技术学院基础课部，江苏吴江215200)摘 要：不等式的证明在高等数学通用教材中较多本文就不等式的证明归纳出了一些方法和基本思路关键词：高等教学 不等式证明 基本方法不等式证明是高等数学中的常见问题在各类考试中经常出现。证明不等式没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强，因此不等式证明题历来是学生最感到困惑的问题之一。但它也有一些基本的常用方法。我们要熟练掌握不等式的证明技巧就必须了解这些基本方法。1利用微分中值公式证明不等式中值定理特别是拉格朗。

11、Jensen 不等式的证明 题目：若函数 f 是凹函数，X 是一随机变量，有： 。)()(XEff证明：原命题即证：对任意 ai， ，有： 。下面用数学归1i 11niiniixafxfa纳法进行证明。(1) 当 n=2 时，由于 f 是凹函数，由函数的凹性可得：，令 ，则)(1)()1( 212xfaxaxaf 12a，不等式成立；2ff(2) 假设当 n=k 时，不等式成立，即： ，则)()11niiniixafxfa当 n=k+1 时， )()( 1211 nnnii xaxafxaf )(2111ikif（函数的凹性） )()(2111ikixafxfa又因为 ，11321 kkii 1132ak根据假设可得：)()1()()1() 1222 ikiikiiki xfxafxaf 将代入 得：11211 )()()()( ni。

12、1课时九 基本不等式与不等式基本证明第一部分：基本不等式变形技巧的应用基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。技巧一：加减常数例 1、求函数 的值域。)1(xy点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。技巧二：巧变常数例 2、已知 ，求函数 yx（12x）的最大值。210x点评：形如 或 等可有两种变形方法：一是巧乘)1()axf)1(2axf常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。技巧三、分。

13、不等式证明2,3分析法,证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分。

14、高三讲座,第十三讲,不等式的性质与不等式证明,学过什么？,1不等式的定义：,2不等式的性质：,推论：若ab，且cd，则a+cb+d（同向，可加性）,（1） （对称性）,（2） （传递性）,（3） （加法不变性）,学过什么？,3不等式的证明的方法：,比较法、综合分析法、反证法、数学归纳法等,高考要求,1理解不等式的性质，能够对性质进行证明,4能根据不等式的性质判定一些命题或已知不等式的正确 错误，能正确使用特殊值法，判断不等式的正误,3掌握证明不等式的几种基本方法，会证明一些简单的不等式,2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于。

15、Mathwang1几个经典不等式的关系一 几个经典不等式（1）均值不等式设 是实数12,0na 221211212+nnnnaaaa 其中 .当且仅当 时，等号成立.0,ia 12n（2）柯西不等式设 是实数，则1212nnb 2222112nnaababab 当且仅当 或存在实数 ，使得 时，等号成立.0(,)i k(,)iik（3）排序不等式设 ， 为两个数组， 是 的任一排列，12n 12n 12nc， ， ， 12n， ,，则 1212 1nababcabab 当且仅当 或 时，等号成立.n 12n（4）切比晓夫不等式对于两个数组： ， ，有1 12n12 121211n nnnabababababn 当且仅当 或 时，等号成立. 12二 相关证明（1）用排序不等式证明。

16、不等式证明二A一. 选择题：1. 已知： ， ， ， ，下列不等式中正确的是 0yxxyBxyDyxC，21A. B. C. D. CDADACBACDB2. 设 ，且 ，在下列四个数中最大的是 ba01A. B. C. D. 21 ab2。

17、定有限个正数满足条件 T：每个数都不大于 50 且总和 L=1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差 r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r 1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 r2；如此继续构成第三组（余差为 r3） 、第四组（余差为 r4） 、，直至第 N 组（余差为 rN）把这些数全部分完为止。（I）判断 r1，r 2，r N的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少。

18、1构造均值不等式证明不等式浙江省 刘有良均值不等式是一组非常重要的不等式 数学中有许多轮换对称不等式都可以.通过构造出均值不等式而获得简捷的证明 构造均值不等式的出发点和目标是寻求匹配因式，使每一个因式取值的比例达到均衡相等 本文通过实例谈。

19、1，利用均值不等式证明不等式（1）均值不等式：设 12,.na是 n 个正实数，记12nnH 12nnGanaA 221nnQ它们分别称为 n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：nHG.等号成立的充要条件是 12naa。先证 nA证 法 一 ： .nAG用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 21()20,n naG当 时 ， 成 立 。 .kA假 设 ： =k时 成 立 ,即 有 ：11kkkkGGn+1时 ： 只 需 证 ：12naa不 妨 设 ： 01111=kkkkiiiik aA1101kkki iiikkaaaC11 1111()() .k kkki i iikaaaaA 11.1kkAGank所 以 对 时 亦 成 立 。 原 不 等 式 成 立 。.nAG证 法 二 。

20、典型例题一例 1 若 0x，证明 )1(log)1(logxxaa（ 0 且 1a） 分析 1 用作差法来证明需分为 和 0两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明解法 1 （1 ）当 时，因为 ,x，所以 )1(log)(laaxx0)(l2a（2 ）当 1时，因为 ,0x所以 )(log)(laa1ogxx0)(l2a综合（1） （2 ）知 )(log)(lxxaa分析 2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号解法 2 作差比较法因为 )1(l)(logxxaall1)1lg()l(gxa)l()l(10)lg(2xa，所以 )1(lo1loa说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目。