导数证明不等式试题

1、导数与数列不等式的综合证明问题典例：（2017 全国卷 3,21）已知函数 。1lnfxax（1）若 ，求 a 的值；0fx（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，求 m 的最小211n值。分析：(1)由原函数与导函数的关系可得 x=a 是 在 的唯一最小值点，列方f0， +x程解得 ；1a(2)利用题意结合(1) 的结论对不等式进行放缩，求得 ，结合211ne可知实数 的最小值为 2311m3（1） 的定义域为 .fx0， +若 ，因为 ，所以不满足题意；0a1ln20fa=-若 ，由 知，当 时， ；当xfxx,afx0时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增，故， +xaf0， +x=a 是 在 的唯一最小值点 .。

2、定有限个正数满足条件 T：每个数都不大于 50 且总和 L=1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差 r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r 1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 r2；如此继续构成第三组（余差为 r3） 、第四组（余差为 r4） 、，直至第 N 组（余差为 rN）把这些数全部分完为止。（I）判断 r1，r 2，r N的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少。

3、1构造均值不等式证明不等式浙江省 刘有良均值不等式是一组非常重要的不等式 数学中有许多轮换对称不等式都可以.通过构造出均值不等式而获得简捷的证明 构造均值不等式的出发点和目标是寻求匹配因式，使每一个因式取值的比例达到均衡相等 本文通过实例谈。

4、506 班 导数 与 不等式 专题 学案 1 / 14 利用导数证明不等式的常见题型 一 、几个经典不等式 1、 1xex+ ， xe ex ， ( )1 0xexex ， 2112xe x x + + ( )2 10xe x x + ( )2 0xe x x x + 1 1,x xe 1xex ( )*1!nx xe n Nn + 2、 11 ln 1xxx ( )ln 11 x xxx + + 1lnxxe 1lnx ex ( )21110 1 , l n21 xx x xxx +当 时 ( )21 111 , l n12xx x xxx + 当 时 2lnx x x ( )21ln 12xx; 3、对数均值 不等式： ( ),l n l n 2b a a ba b a b R a bba + 4、 0 , sin ta n2x x x x ，二。

5、1，利用均值不等式证明不等式（1）均值不等式：设 12,.na是 n 个正实数，记12nnH 12nnGanaA 221nnQ它们分别称为 n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：nHG.等号成立的充要条件是 12naa。先证 nA证 法 一 ： .nAG用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 21()20,n naG当 时 ， 成 立 。 .kA假 设 ： =k时 成 立 ,即 有 ：11kkkkGGn+1时 ： 只 需 证 ：12naa不 妨 设 ： 01111=kkkkiiiik aA1101kkki iiikkaaaC11 1111()() .k kkki i iikaaaaA 11.1kkAGank所 以 对 时 亦 成 立 。 原 不 等 式 成 立 。.nAG证 法 二 。

6、目录摘要1关键词1Abstract1Key words.1引言21、利用导数的定义证明不等式.32、利用导数的几何意义证明不等式.43、利用中值定理证明不等式.53.1、利用拉格朗日中值定理证明不等式.53.2、利用柯西中值定理证明不等式.64、利用函数的单调性证明不等式.84.1、取对数法.84.2、变量替换法.94.3、常数变易法.95、利用函数的最值性(极值性）证明不等式116、利用泰勒公式证明不等式.137、。

7、 利用导数证明不等式不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。例 1已知函数 ， ，证明：()l。

8、第 1 页 共 4 页利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧技巧精髓1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。一、利用题目所给函数证明【例 1】 已知函数 ，求证：当 时，恒有xxf)1ln() 1x1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。)ln。

9、导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 1 / 2导数与数列不等式的证明例 1.已知函数 ()ln3fxaxaR(1)讨论函数 的单调性;(2)证明: *1l(1)23nN(3)证明: *lnl452,(4)证明: *222l ,3nnN(5)证明: 4442lnl5(1),(6)求证: 22n. ,3n(7)求证: 222211.48neN例 2.已知函数 ()lnfx(1)求 的最大值;f(2)证明不等式: *121neN例 3.已知函数 2lnfxx(1)当 时,求证:03;(2)当 时,求证:nN331115.2421kf n 例 4.设函数 2()ln()0fxmx(1)若 ,求 的单调区间;1(2)如果函数 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 的取值范围;f m(3)求证:对任意。

10、命题与解题利用导数证明不等式单 ( 2 =Sv 9 S,210097)l :2005-05-23 f 1 , T H9. ENTBt .1 ! MB, !f y =f(x) uWI= V.Tf(x)0(xI),5f(x)9(xI); Tf(x)”“0pf(t)=p(at+b)(ct +d)-t(2act+bc+ad)=p(bd-act2).p=(at+b)-2(ct +d)-。

11、导数中多元变量证明不等式例题讲解1 （本小题满分 14分）已知函数 f(x)=ln(1+x) x，g( x)=xlnx.（）求函数 f(x)的最大值；（）设 0ab,证明 0g(a)+g(b)-2g( )(b-a)ln2.2ba本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分 14分.（）解：函数 的定义域为 .)(xf ),1(令 .1)(xf 0。

12、函数与导数解答题之数列型不等式证明例 1.已知函数 ()ln3fxaxaR(1)讨论函数 的单调性;(2)证明: *1l(1)23nN(3)证明: *lnl452,(4)证明: *222l ,3nnN(5)证明: 4442lnl5(1),(6)求证: 22n. ,3n(7)求证: 222211.48neN例 2.已知函数 .2()ln(1)fxax（1）若 为函数 的零点，求 的值；a（2）求 的极值；f（3）证明：对任意正整数 ， .22134)l( n例 3已知函数 （其中 是自然对数的底数， ）.xfea,Re2.718e（1 ）当 时，求函数 的极值；（II）当 时，求证 ；af01a0fx（2 ）求证：对任意正整数 n，都有 .21ne例 4.设函数 ()ln1fxpx=-+（1 ）求函数 的极。

13、导数证明不等式的几个方法1、直接利用题目所给函数证明（高考大题一般没有这么直接）已知函数 ，求证：当 时，恒有xxf)1ln() 1x)l(如果 是函数 在区间上的最大（小）值，则有 （或()fa()fx ()fxfa），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 就可x 02、作差构造函数证明已知函数 求证：在区间 上，函数 的图象.ln21)(xxf),1()(xf在函数 的图象的下方；3g构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。3、合理换元后构造函数可大大降低。

14、1二轮专题 （十一） 导数与不等式证明【学习目标】1. 会利用导数证明不等式.2. 掌握常用的证明方法.【知识回顾】一级排查：应知应会1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对任意 都有 ，可设 ，只要利用导数xba,)(xgf)()(xgfxh说明 在 上的最小值为 即可)(xhba,0二级排查：知识积累利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来） ，如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）对于给出的。

15、导数题型一：证明不等式不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。一构造形似函数型例 1求证下列不。

16、导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，。

17、 函数，导数，不等式，推理与证明1，已知函数 . () 若直线 与 的反函数的图像相切, 求实数 的值; () 设 , 讨论曲线 与曲线 公共点的个数. () 设 , 比较 与 的大小, 并说明理由. 2，已知函数 ()设 ，求 的单调区间() 设 ，且对于任意 ， 。试比较 与 的大小3，已知函数 , ， 当 时， 求证： ；4 已知函数 . () 求函数 的单调区间 ; () 证明: 对任意的 , 存在唯一的 s, 使 . () 设()中所确定的 s 关于 t 的函数为 , 证明: 当 时, 有5，已知函数 （）设 是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性； （）当 时，证明 .6,函数 (1)n=0,若 h(x)在 上没。

18、 函数，导数，不等式，推理与证明1，已知函数 . () 若直线 与 的反函数的图像相切, 求实数 的值; () 设 , 讨论曲线 与曲线 公共点的个数. () 设 , 比较 与 的大小, 并说明理由. 2，已知函数 ()设 ，求 的单调区间() 设 ，且对于任意 ， 。试比较 与 的大小3，已知函数 , ， 当 时， 求证： ；4 已知函数 . () 求函数 的单调区间 ; () 证明: 对任意的 , 存在唯一的 s, 使 . () 设()中所确定的 s 关于 t 的函数为 , 证明: 当 时, 有5，已知函数 （）设 是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性； （）当 时，证明 .6,函数 (1)n=0,若 h(x)在 上没。

19、利用导数证明不等式专题训练 1 已知函数 1 求的单调区间 2 证明 2 已知函数 1 若在上为增函数 求实数的取值范围 2 求证 3 已知函数 1 求实数 2 证明 4 已知 1 恒成立 求的取值范围 2 求证 5 已知函数 1 2 求证 6 已知函数 1 求的单调区间 2 设 对任意 求的取值范围 3 证明 7 已知函数 1 讨论的单调性 2 求证 8 设 1 若 2 求证 导数证明不等式答案。