1、 利用导数证明不等式不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。例 1已知函数 ， ，证明：()ln1)fxx11ln()x证：函数 的定义域为 1 ,(fx当 x （ 1，0）
2、时， 0，当 x（0，）时， 0，()f ()f因此，当 时， ，即 0 fln()ln令 则 ()ln1)gxx21()gxx2(1)x 当 x （1， 0）时， 0，当 x（0，）时， 0 () g 当 时， ，即 0， gx1ln()1ln()x综上可知，当 时，有 1x练习：（1）证明 时，不等式x32（2） ，证明： (3) 时，求证：0xex10)1ln(2xxW 例 2.已知 a、b 为实数，且 bae,其中 e 为自然对数的底，求证：a bb a.证法一：bae,要证 abb a,只要证 blnaalnb,设 f(x)=xlnaalnx (xe), 则f(x)=ln a .xa
3、e ,lna1,且 1,f(x)0. 函数 f(x)=xlnaalnx 在( e,+)上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0,即 blnaaln b0,blnaaln b,a bb a.证法二：要证 ab ba,只要证 blna alnb(e a b ,即证 ,设 f(x)ln= (x e)，则 f( x)= 0,函数 f(x)在(e,+) 上是减函数，又eab,ln2ln1f(a)f(b), 即 ,a bb a.l练习:若 ,证明:201x12tnx例 3.当 时,证明:)10(x 22)1(ln)(xx证:令 ,则 ,而f2l0f)()()(ln)(2xxx当 时,10 0)1
4、ln(21ln xxf 在 上递减,即 ,从而 在(0,1)递减)(xf)( 0)(fxf ff(x)f(0)=0,从而原不等式得证.Ex:证明:当 时,022)1(ln)(x略解:注意 x=1 时,原不等式”=”成立,而作 F(x)= ,则 F(1)=01ln,10, xx原 不 等 式原 不 等 式 1lnx且 ，从而 F(1)=0 推出)0()()2F与 同号 ，得证。)()1(0)xFxF120)(1(2xF练习证明(1) )0,(aa(2) )(lnbabb思考(3) ,证明 ,并指出”=”成立的条件0baba)2(总结：（一）象上述例子一样，通过作辅助函数并对辅助函数求导来证明不等
5、的的方法是对相当广泛一类不等式适用的。用此方法证明 f(x)g(x)(axb)的一般步骤是：（） 作辅助函数（x）=f(x)-g(x),原不等式归结为（x）0(axb),这等价于(x)在a,b上的最小值大于等于 0.（） 对（x）求导，确定 F(x)在所考虑的区间上的符号，从而确定(x)的增减性、极值、最值等性质（主要是单调性），如象例F(x)的符号直接确定不了，这时一般需计算（x）,直到符号能够确定为止（二）作辅助函数(x)不同，确定 F(x)符号难易程度可能不同，所以作辅助函数要不拘一格，可对原题作适当变更不同辅助函数构造一般来源对原不等式的不同同解变形一般来说:辅助函数构造方法主要有下面两种:(1)由欲证形式构造“形似”函数；(2)由欲证形式做恒等变形，变成初等函数四则运算的形式，再将其中一个常数改为x，移项使等式一端为 0，则另一端即为所求作的辅助函数 F（x）如思考题（3），可取对数，变为求证： 2ln)(llnbaba令 )(f )(2l)(lnl xaxa
