1、 函数，导数，不等式，推理与证明1，已知函数 . () 若直线 与 的反函数的图像相切, 求实数 的值; () 设 , 讨论曲线 与曲线 公共点的个数. () 设 , 比较 与 的大小, 并说明理由. 2，已知函数 ()设 ，求 的单调区间() 设 ，且对于任意 ， 。试比较 与 的大小3，已知函数 , ， 当 时， 求证： ；4 已知函数 . () 求函数 的单调区间 ; () 证明: 对任意的 , 存在唯一的 s, 使 . () 设()中所确定的 s 关于 t 的函数为 , 证明: 当 时, 有5，已知函数 （）设 是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性； （）当 时，证明 .6,函数 (1
2、)n=0,若 h(x)在 上没有零点，xgfxhnmxgef , ,1求 m 取值范围 (2)设 求证:当 。041mrxgf 0xr7,已知函数 ，若 f(x)有两个不同零点 ， (1)求 m 取值范围 mxef21,x(2)证明 021x8 函数 (1)求 f(x)在 上的最大值 (2)若 f(x)有两个不同零点 ，mxxflne,1 21,x求证: 。21e9,函数 (1)若 f(x)在 R 上是增函数。求 a 取值范围 (2)如果axexf21恰好有两个不同的极值点 ，证明:02g 21,xax2ln2110,函数 (1)讨论函数单调性，(2)若 在 处的切线斜xaxf2ln xfy1
3、,f率为 2，且函数 在 有两个不同的极值点 证明mfg,1221lnxm【解析】() 的反函数 . 设直线 与相切与点 。所以() 当 时， 曲线 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。由 ，令则 在 上单调递减,这时 , 在 上单调递增,这时 是 极小值即最小值.所以对曲线 与曲线 公共点的个数，讨论如下：当 时,有 个公共点；当 ,有 个公共点；当 有 个公共点；() 设令 ,则的导函数 所以 在 上单调递增,且 ,因此 在 上单调递增,而所以在 。因为当 时, 且所以当 时,解：（）由 知 又 ，故当 时， 若 时，由 得， 恒成立，故函数的单调递减区间是 ；若 ，令 可得 ，即函数在
4、 上是减函数，在 上是增函数.所以函数的单调递减区间是 ，单调递增区间是 当 时，令由于 ，故有显然有 ，故在区间 上，导数小于 0，函数是减函数；在区间 上，导数大于 0，函数是增函数综上，当 时，函数的单调递减区间是 ；当 时，函数的单调递减区间是 ，单调递增区间是当 ，函数的单调递减区间是 ，单调递增区间是（II）由题意，函数 在 处取到最小值，由（1）知， 是函数的唯一极小值点故整理得 令 ，则由 当 时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减因为故 ,即 ,即解：（）由题意可知函数的定义域为 ，求导数可得令当 变化时， 的变化情况如下表：- 0 +单调递减 极小值 单调递增 所以函
5、数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为（）证明：当 时， ，设 ，令，由（）可知， 在区间 单调递增， ,，故存在唯一的 ，使得 成立；（）证明：因为 ，由（）知， ，且 ，从而 ，其中 ，要使 成立，只需 ，当 时，若 ，则由 的单调性，有 矛盾，所以 ，即 ，从而 成立，另一方面，令 令当 时， ，当 时， ，故函数 在 处取到极大值，也是最大值 ，故有 .综上可证：当 时，有 成立解：（） , 是 的极值点， .所以函数 ，其定义域为 .设 ，则 ，所以 在 上为增函数，又 时， ，即 ；当 时，所以 在 上为减函数；在 上为增函数；（）证明：当 时， ，故只需证明当 时 当 时，函数 在 上为增函数，且 , 故 在 上有唯一实数根 ，且 当 时， ，当 时， ，当 时， 取得最小值由故 综上，当 时，
