1、导数、数列、不等式 第 1 页 共 7 页导数、数列、不等式 第 1 页 共 7 页导数、数列、不等式导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点.1.已知函数 （ ， 为自然对数的底数）.()1xfea0e（1）求函数 的最小值；（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的值；()0fxxRa（3）在（2）的条件下，证明： .121()()(1nne解析：（1）略；（2） ，由（1）设 ， ；min0fxl0gaa（3）由（2）知，因为 ，所以对任意 ，均有 ，即 ，axxexe令， ，则 ，所以， .kx
2、n0,12,n 01kne(1)(knnke于是， ()()(nn (1)(2)211nnn 1e2.已知函数 ， ，kxf)(xgln)(（1）求函数 的单调区间；（2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；)(xf),0(k（3）求证： .en21l3l2n44解析：（1）函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 .xg)(),(e),(e（2） ， ， . 令 ， ，0xkl2lk2lnxh3ln21)(xh令 ，解得 ；当 变化时， ， 变化情况如下表：()he()x0,e(,)e导数、数列、不等式 第 2 页 共 7 页导数、数列、不等式 第 2 页 共 7 页()hx 增 减
3、故 ，则 .ex21)(ek（3）由（2）知 ， ， （两边同时乘以 ）xln)2(1l4xx 21x4422lnl1( )33(1enen 1()2e3.已知函数 .xtxfln(（1）若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围；),1t（2）当 且 时，证明： .n*Nnl13ln21解析：（1）实数 的取值范围为 .t),（2）由（1）知，令 ，则 在 上为增函数，1xxfl1(),，0)(fx即 ，当且仅当 时取等号.lnx要证明 ，只需证)1ln()23l(1lnl1321 .)l(在 中取 ，有 ，则 ；在 中取xn1(2)llnxln，易知 ，则 .)2(1x)1(n综上可知 成
4、立，则原命题成立.)l(n4.已知函数 .)(xkxf（1）求函数 的极值点；()（2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围.0fxk导数、数列、不等式 第 3 页 共 7 页导数、数列、不等式 第 3 页 共 7 页（3）证明：)1,(6)14(1ln154ln832l 2 nNn.解析：（1）函数的定义域为 ， .当 时 ，(,)(fxk0()fx()fx在 上单调递增，无极值；当 时， ， ，,0k1()fxk1xk当 变化时， ， 变化情况如下表：x()fxf1(,)k(1,)k()fx 增 减函数 在 处取得极大值， 为极大值点.()fx1k1xk（2）由（1）知， 时， ， 不恒成立
5、，故只需 .0(2)0f()fx0k当 时， ， .0kmax()1lnfk1（3）由（2）知，当 时， ，（ ），xx，32ln1()n，所以， ， .2()2l13n,1Nn.ll4 (4)1(45()3815 6n 引申：（4）证明：当 x时， l)2x；*1ln(),1)i nN.当 时， , ，所以2l(nl12n.ln234l ()(1)()123()5 44n （5） l1x，令 2xn，l.导数、数列、不等式 第 4 页 共 7 页导数、数列、不等式 第 4 页 共 7 页5.已知函数()bfxac（ ） ，的图象在点 处的切线方程为0(1,)f（.1y（1）用 表示 ；a,b
6、c（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围；()lnfx1,a（3）证明： .ln(1)232()解析：（1） ， ；（2）由（1）知，1baca，令 ，()()fx 1()l(2)lnagxfxx（关键信息）.0g.，21()aax当 时， ，若 ，则 ， 单调递减，所以01ax()0gx()，即 ， 在 上不恒成立；()1gx()lnfx()lnf,当 时， ，若 ， ， 单调递增，所以2a1ax().()0x即 ，故当 时， 在 上恒成立.lnfx()lnfx1,综上所述，所求 的取值范围为 .a,2（3）由（2）知，当 时， ，且 ，令 ，有1()lnfx1x2a，且当 时， .令 ，1
7、()()l2fxx()lnx1k有，即 ， .ln()1kk1ln()l()2kk1,2k将上述 个式子相加，得 .ln23()导数、数列、不等式 第 5 页 共 7 页导数、数列、不等式 第 5 页 共 7 页6.已知 ， 的图像在点 处的切线与直线()2bfxa0a(1,)f平行.21y（1）求 满足的关系式；,b（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围；()lnfx1,a（3）证明： .ln(1)3522解析：（1） ；ba（2）由（1）知， ，令 ，()()afx 2()()afx， （关键信息）. 2()2ln2lngxf10g2)()()axa当 时， ，若 ，则 ， 单调递减，所以
8、0112ax()0gx()，即 ， 在 上不恒成立；()gx()lnfx()lnf1,当 时， ，若 ， ， 单调递增，所以a2a0gx().()10x即 ，故当 时， 在 上恒成立.lnf1x()2lnfx1,综上所述，所求 的取值范围为 .a,（3）由（2）知，当 时， ，且 ，令 ，有 ，()lfxx1a2lnx且当 时， .令 ，有 ，1x2lnx21k2lkk，所以， ，即：21kk 1ln， .ln()l()21,2k将上述 个式子相加，得 .1l(1)352nn7.设函数 .()lnafx导数、数列、不等式 第 6 页 共 7 页导数、数列、不等式 第 6 页 共 7 页（1）当
9、 时， 只有一个零点，求实数 的取值范围；92a()fxkk（2）当 时，试比较 与 1 的大小；（3）证明： .（ ）ln(1)3572nL1xk解析：（1） 或 ；2klk（2） 当 时， ，即 ；当()l1hx1x()10hx()1fx时， ，即 ；当 时， ，即0()0hf0h.()1fx（3）由（2）的结论，当 时， ，即 令 ，1x2ln1x1lnx1k则有 ， ,将上述 个式子相加，ln2k,23kL得 .1()3571n8.设函数 ， ， ，其中 是 的导函数.l()fx()gxf0x()fxf（1） ，求 的表达式；1(),nngNng（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；(
10、)faa（3）设 ，比较 与 的大小，并加以证明.N(2)()g ()f解析：（1） ， ， ， ，1ln)(xfxf0xf1，xg)(， ， ， ，)(1 )()(1xgnn x1)(xg21)(2假设当 时， ，则 当kkxk1)( xkxk )(1)(1 1n时， 也成立.xkxgk)1()导数、数列、不等式 第 7 页 共 7 页导数、数列、不等式 第 7 页 共 7 页综上， ，nxgn1)(N（2） ， ， ， .afxg1)( 01)ln(xa令 ， ，易知 ，则xxh)l()0h2(1)()axh， .当 时， 在 上恒成立， 在 上单21()a01a)(x0)(),0调递增， ，满足条件；)(hx当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 .于是1a01ax0)(xh1ax在 上单调递减，在 上单调递增， ，与)(xh,0,(0)(h题设矛盾，综上可知 .1a（3） ，证明如下：要证()2()()ggnf (1)2()ggn，只需证1ln(3 13.在（2）中取 ，可得 ， ，令 ， ，ln(1)ax1)l(0nx*N则 ，故有 ，n21nl， ，3l)(上述各式相加可得 .)13l n
