1、目录摘要1关键词1Abstract1Key words.1引言21、利用导数的定义证明不等式.32、利用导数的几何意义证明不等式.43、利用中值定理证明不等式.53.1、利用拉格朗日中值定理证明不等式.53.2、利用柯西中值定理证明不等式.64、利用函数的单调性证明不等式.84.1、取对数法.84.2、变量替换法.94.3、常数变易法.95、利用函数的最值性(极值性）证明不等式116、利用泰勒公式证明不等式.137、利用函数的凹凸性证明不等式.168、利用 Jensen(琴森)不等式证明不等式.199、利用导数的不等性证明不等式.2010、利用偏导数证明不等式23总结27参考文献281致谢29
2、导数在不等式证明中的应用摘 要：导数知识是数学中极其重要的部分，它的内容，思想和应用贯穿于整个数学的教学之中，是初等数学和高等数学中的一项重要内容。利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易，迎刃而解。在不等式证明的种种方法中，它占有重要的一席之地，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。本文将通过举例和说明的方式来阐述不等式证明中导数的一些方法和技巧。关键词：导数 不等式 证明 函数Abstract： The knowledge of derivative is an extremely important part o
3、f higher mathematic，its content, ideas, and applications impenetrate into the teaching of higher mathematic. As to the proofs of inequalities, the use of the derivative proved to be an effective measure. It earns a place in the various methods of the proofs of inequalities. This article will elabora
4、te the application of derivative in the use of the proofs of inequalities, that is, the monotonic property of the function, the maximum or minimum value of a function, differential mean value theorem, Taylors formula, concavity, inequality of two derivative and partial derivative.Key words: derivati
5、ve inequalities prove function2引言导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系.导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度.比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示.数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法，如果在学习数学的过程中，我们能有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法系列化，那么解决数学问题的能力将会得到升华.在高等数学的学习中，不等式的证明是
6、可以作为一个系列问题来看待的，不等式的证明是数学的重要内容之一，也是难点之一，其常用的方法有：比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等，而有一些问题用上述方法解决是困难的，在学完中值定理与导数的应用的内容以后，可以利用导数的定义、拉格朗日中值定理、函数的单调性、最值性、凸凹性等知识解决一些不等式证明的问题.因此，导数为证明不等式注入了新的活力，这一创造性思维有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系.随着时代的发展，科技的进步及课程改革的不断深入，导数的应用必将渗透到社会领域的方方面面.这就要求加强导数的思想与方法教学，让学生深刻体会导数在解决函数、三角函数、
7、解析几何、不等式、数列及实际问题和物理方面的应用性和工具性，为社会培养更多的应用性人才.31、 利用导数的定义证明不等式利用导数的定义证明不等式是一种比较普遍也是比较基本的方法，首先让我们先了解一下它定义定义1 1：设函数 在点 的某一领域内有定义,在点 处)(xfy0 0x给自变量 以增量 点 仍在该领域内 ,相应地,函数 有增x0)y量 )(0fy(0xf如果当 时比值 的极限 存xyxffxy )(limli 000在，则称此极限值为函数 在点 处的导数，记作 ，)(f0f， 或 .并称函数 在点 处可导.0|xy0|xd0|)(xf )(fy0导数的定义有两种等价的形式：（1） ；xf
8、ffx)(lim)( 000（2） .0)0x例 1 设 ，并且 ，nxaxaf si2sini)(1 xfsin)(试证： .2na证明：由已知 ，可得xf niii)(214， 则 ，nxaxaxf cos2coss)(1 0)(f又由导数定义，n20，1ilm)(lili 00ff xxx故 ，1sinl)(i)( 0xffxx即 .121naa注：在用导数的定义证明不等式时，首先我们必须把原函数的一阶导数求出来，然后确定函数在一点的函数值和导数值，从而用导数的定义证明不等式.此题的关键是找到 ，且熟naaf21)0(知常用函数的极限.2、利用导数的几何意义证明不等式导数的几何意义 1：
9、如图 2.1 所示，设 是曲线)(,0xfp上一点， 点坐标为 .过 P 点作曲线)(xfyB0x的切线 ，若 在 处可导，则 是切线 的斜率，PC)(f )(0fC且曲线 过 点的切线方程为 ，f,0x )(00xfxy法线方程为 .)()1000fxfy0)(f作 平行于 轴， 平行于 轴，则 ，而PAABCyACxdf)(0表示增量 （为了说明问题，我们假定了 ）B)(xff 0)(xf5图 2.1有的资料用运动变化的观点将曲线 的割线 的极限位置所在CPQ的直线定义为 在点 ）（ )(,0xf处的切线.由这个定义出发，我们可CP以发现，函数 )(fy图像上任意两点 ),(1yx, ),
10、(2y连线斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线斜率的范围.从而，利用导数的几何意义，即切线的斜率可以证明不等式.例 2 已知 cxf2)(的定义域为 ),0(， )1,0(,21x且1x，试证： 211x证明：由于 2，所以原不等式等价于 )(21xff.即要证函数 )(xf图象上任意两点连线的斜率 k，也就是曲线上任一点处切线斜率 1切k.因 )(/xf1，当 0时， 1.所以 /.由导数的几何意义可知 切k.从而 )(21xff，即 2121)(xfxf .注：形如 21)(mf 或 21)(xf（ 0）型不等式的证明，都可以利用上述方法解决.A63、利用中值定理证明不等式3.1 利用拉格
11、朗日中值定理证明不等式定理 1 1 ：（拉格朗日中值定理）若函数 满足条件：)(xf(1) 在闭区间 上连续；ba,(2) 在开区间 内可导, 则在区间 内至少存在一点 , 使ba, 得.)()(fbf证明： 作辅助函数.()() ()faFxfax显然, ,且 在 上满足罗尔定理的另两个条0ab,b件.故存在 ,使(),()()0faFf移项,即得 .()fbfa3.2 利用柯西中值定理证明不等式定理 2 1 ：（柯西中值定理）设函数 和 满足条件：)(xfg(1) 、 在闭区间 上连续；)(xfgba,(2) 、 在开区间 可导，且 ，则至少存在一0)(点 ,使 .ba)()(gff通过拉
12、格朗日中值定理证明不等式的形式: 7或abMfb)( )()()( abMfbm通过柯西中值定理证明不等式的形式： gfm拉格朗日中值定理和柯西中值定理是以等式形式存在的，那么，如何利用这两个中值定理去证明不等式呢？在中值公式中 ，ba,我们根据 在 之间的取值可以估计取值 范围，从而得到不ba, )(f等式，这就是应用中值定理证明不等式的思想.下面给出利用中值定理证明不等式举例.例 3.1 设 ,证明 .2eab224lnbabe证明： 令 , .显然函数,x2在 上连续,在 内可导,有 Lagrange 中值定理知,至少存fx在一点 ,使得ab.fbafba即 , .2lnln设 ,则 .
13、当 时, ,所以函数t 21ltte0t在 单调减少,从而 .即 te22te,亦即 .故得到2ln,ab2ln4bae.2lba例3.2 3 证明不等式 . 21)n(1xx0证明：令 ， ，则归结为证)l(2xfg明：,注意到 ， ，利用柯西中值)(gxf00(f)(定理有xfl)(8)(0)(gfxgffx0下证 .11ln)( 222f事实上，因 ，故 .0x 0)ln()(2从而 ,即1l)(2gf.)(xf注：从以上两道题我们可以看出利用中值定理证明不等式首先要利用变限移项法、分析法、待定因子法等方法来构造一个辅助函数,使其在所给区间上满足中值定理的条件,证明的关键的在于处理)(x
14、f好 点,分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要的结论.当然,有些题在证明过程中也可能会出现要反复使用定理的情况.用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤 4 ： 恰当地选取函数 ,自变量所在的区间a,b；)(xf 验证函数 在区间内满足拉格朗日中值定理的条件，从而f得到等式: ， （a,b）；abf)()(对 求导，从而得到 ，由此得到由 建立的一个等式；xf f 由的范围确定 的范围，从而验证不等式.)(f4、利用函数的单调性证明不等式许多不等式与函数相关，或整理后与函数相关，我们可以先用导9数的方法证明函数的单调性，再用函数单调性的性质去证明不等式，这就是利用单调性证明不等式的思想.定理 3
15、： 5（函数单调性的判定法）设函数 在 上连续,xfba在 内可导.ba, 如果在内 内 ,那么函数 在 上单调增ba,0)(xf )(fy,加； 如果在 内 , 那么函数 在 上单调减,f xfba,少.上述判定法中的闭区间换成任何区间（包括无穷区间）, 结论也成立.通过函数单调性证明不等式的形式： .利用函数单调)(xhg性证明不等式的举例.4.1 取对数法例4.1 设 ，试证：4x2x证明：不等式两边取对数得： .令 ，2lnxfln)(则 当 4时，0)(fx，0214lnl)(ef所以， 函数 ，0f即 ，xl2ln也即 （ ）. 注：此题若采用“作差法”容异想到构造辅助函数 2)(
16、xf但不易证得 02ln)( xxf 故本题不宜采用“作差法”.4.2 变量替换法例4.2 设 ，证明： .0xx21)ln(证明：原式 10（以 替换 ） x1)1ln(sx1（以t替换 ）sss 1)l( s1.t1ln2令 ，则,ln2)(tf ,0)1(1 222ttttf所以，函数 单调递增 .从而，当 时有 ，)(f 1t 0)1(ft即 xt2)1ln()ln2注：此题证明过程中引入两个变量 和 ，目的是通过变量替换使st形式简化，以便于构造辅助函数.4.3 常数变易法定义2：常数变易法是指在待证的不等式或其等价不等式中，将某一个常数变易为变量 ，再移项整理成不等式，使其一端为常
17、数x（常为0），则另一端即为所要作的辅助函数. 注：对于一些数值不等式可以通过常量变量化而得到辅助函数，使之变成函数不等式，再利用函数单调性证之.本题是把其中的一个常量设为了自变量.所以在用常数变易法证明不等式应注意以下几点：（1）由于可导函数单调 （或 ） ，所以证明0)(xf 0)(xf可导函数单调的题目也属于证明不等式的题目；（2）在将不等式进行等价变形时，常用以下命题：如果函数 单调增加，则 ，)(xf 21x)(21x11如果函数 单调减少，则 .)(xf 21x)(21x（3）必要时扩充函数的定义域并确定函数的区间断点函数值.（4）指数函数值和幂函数值的不等式常先取对数，再作辅助函
18、数，通常利用函数的单调性证明具体函数的不等式，其证法的步骤如下：作辅助函数 （一般取不等号两端的函数之差或之商为辅助)(xf函数） ； 求 的导数 ，并确定其在区间上的符号；)(ff判定 单调增加还是单调减少；x求出 在两端点之一处的函数值或极限值（一般必有一个端)(f点函数值或 极限值为零或其符号确定） ；用单调性定义证明所需证明的不等式. 例4.3 设 ， ，试证：当 时，有 .0ab2nnnba证明：令 nnbxxf)(，则 )(xf),0C.其中 .1)1)( 1 nf 2,x所以，函数 单调递增.从而，当 时有 ，(xf 0a0)(fa即 .nnba注：如果 确定函数单调性方法如下：
19、)()(hgf若 ，得 在 上单调增加.当 且 时，0xfxfba, 0)(afx则，即 ，于是得到所要证明的不等式；)(af 0)(若 ，得 在 上单调减少.当 且 时，0xf)(xfba, 0)(bfx则，即 ，于是得到所要证明的不等式.)(bf 0)(hg5、利用函数的最值性(极值性）证明不等式12由待证不等式建立函数,通过导数求出极值并判断极大值还是极小值,再求出最大值或最小值,从而证明不等式,这就是利用函数的最值(或极值)证明不等式的思路.定理 4 1 设 在点 连续,在某邻域 内可导 .f0x0(,)Ux(1) 若当 时 ,当 时 ,()x(f()0fx则 在点 处取得极小值;f0
20、(2) 若当 时 ,当 时 ,0(,)(0fx0(,)x(f则 在点 处取得极大值.f0x证明： 下面只证(2),(1)的证明可类似地进行.由定理的条件及单调性定理知, 在 内递增,在f0()x递减 ,又由 在 处连续,故对任意的 ,恒有0()xf0x0()Ux.即 在 处取得极大值.0(f若函数 的最大 (小)值点 在区间 内,则 必是 的极大f0ab0f(小)值点.又若 在 可导 ,则 还是一个稳定点. 所以我们只要比较0x在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值 ,就能从中找到f在 上的最大值与最小值.,ab根据闭区间上连续函数性质知，若函数 在闭区间 上连续，)(xfba,则有不等式
21、 .ma)(infxfbbxa例 5.1 求证：当 时，022)1(ln)证明：设 ，2(l)1()f0x则,2ln)( xf,12 213. 323)1()( xxf 当 时， ，10x0当 时， )(f所以二阶导数 在 处必取得极小值.而 ，因此当x 02)1(f时， ， 一阶导数 在 内单调递增.又由,0x0)(f )(xf,推知，当 时， ， 时， ，故)1(f 10f xf在 处取得极小值， 1)(即当 时， 亦即, )ln22x22)(ln)(x注：从上例中可知，若辅助函数 在所讨论的区间上不是单调)(xf函数时，欲证当 时，有 ，只需证明 在 内有ba,0)(xfba,极小值；欲
22、证当 时， ，只需证明 在 内有x)(f极大值.例 5.2 设 nN且 3,求证: 21n.证明： 设 21xf.则有 l,()xf.因为 3,所以 3ln20f.所以 fx在 3,上为增函数.故 f的最小值为 1.所以 恒成立,即命题21n得证.若我们不用函数的最值方法去证明，我们可以这样证明:证明： 用数学归纳法.当 3n时, 28317恒成立.假设当 k时, k成立.那么,当 1nk时,有1242k.又因为 且 N,所以易证 3k成立.从而得到1321kk.14即当 1nk时命题也成立,从而原命题得证.注：从上例中我们可以看出利用函数的最值证明不等式思路更为清晰,方法更为简明,有利于避免
23、不等式证明中的一些转化,放缩等问题.在不等式的证明中,转化与放缩恰恰又是难点所在,所以以后遇到当函数取最大(或最小)值时不等式都成立的问题时,我们可以把不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题.因此利用导数求函数最值是不等式证明的一种重要方法.利用函数的最值(或极值）证明不等式的步骤: 确定函数自变量所在的区间; 求导,确定 ()fx在区间上的极值,并确定最值; 由最值得到不等式.6、用泰勒公式（Taglor 公式）证明不等式定理 5.11：（局部泰勒定理）若函数 在 存在 阶导数，)(xf0n则 ,有)(aUx )()(!)(!2)(!1 000)(20000 nnn xoxfxfxfff
24、L),(通常称nnn xfxfxfxfP )(!)(!2)(!1)( 0020000 为 阶的泰勒多项式，称 为皮亚诺余项. 此公式称为函数no在 的泰勒公式或泰勒展开式.)(f0定理 5.2 1（泰勒定理）若函数 在点 存在直至 阶导数,则f0xn有 ,即0()()nnfxTox.（* () 200 0 0()()!nnnfffxx15）证明: 设,0()(),()nnnRxfTxQx现在只要证 .0limnx又由关系式,000nnnRRx并易知.1000,!nnnnQxQ因为 存在,所以在点 的某邻域 内 存在 阶导f xUxf1函数 .于是,当 且 时,允许接连使用洛必达法则()x0U0
25、次,得到1n00 01limlilimnnnxxxRRQQ011000li 2nxfff0110li!nnnxfxffx .定理所证的（*）式称为函数 在点 处的泰勒公式. f0用此公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形,把其中的函数用此公式展开,再把展开式右边进行放大或缩小,从而推证要证的不等式.例 6.1 当 时,证明不等式 成立.02x221cosxx16证明: 由于,故 .24cos1cos,0!2xx221coscos4x显然有 ,2 211s44963即.21cos1x两边乘以 ,得2x.221cosxx所以结论成立.注：用泰勒公式证明命题时,关键要注意一点,即究竟要展开到第几
26、阶,而对于命题则没有统一的规律,我们要根据题中的有关信息加以适当取舍.例 6.2 设当 时，有 ， .证明：对于2,0x1)(xf1)(xf有2,0x.2f证明：由一阶泰勒公式，对于 ，有,0x.2)(!()()( tfxtfxtf 1在式中分别令 ，得0,2,2)(!()()(2 xfxfxf 0201将，两式相减，得 2122!)()(!)(2)( xfxfxff 17其中 ， .于是有2,0)1(x2,0)(x)(1)(1)2 12fffff2)(x.21上式右端当 时达到了最大值 4，故有 ， .0x 2)(xf,0注：（1）已知 （或 ）之类的条件，常用Mf)( f)(泰勒展开式证明
27、不等式；（2）对不同的 ， 的泰勒公式中的 不会相同，因此上面t)(f的证明中 不能用同一字母表示，否则会得出错误结果 .1,7、通过函数图形的凹凸性证明不等式首先,介绍曲线凹凸的定义.定义 34 (曲线凹凸定义)设 为在区间 上连续, 如果对)(xfI上任意两点 恒有 ， 那么称 在I21,x2)(121ff)(xf上的图形是凹的或凹弧 .如果恒有 ，那么称(21ff在 上的图形是凸的或凸弧.)(xfI凸函数是一类重要的函数,凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式的证明最终归结为研究函数的特性,所以研究凸函数的性质就显得十分重要,我们可以结合导数和凸函数的一些性质来证明不等式.定理 6.1
28、1 为 上的凸函数的充要条件是:对于 上的任意三fI I点 ,总有123x18.2132fxffxf证明： 必要性 记 ,则 .由 的凸性32113xf知道 21313fxfxff,3131从而有,312321213xfxfxf,3213213fffxf整理后即可得 .2 213xx充分性 在 上任取两点 ,在 上任取一点I1,13,x,即 .由必要性的推导逆过程,可213,0x321x证得,1313fxffx故 为 上的凸函数fI定理 6.21 设 为区间 上的可导函数,则下列论断互相等价:fI(1) 为 上凸函数;fI(2) 为 上的增函数;(3) 对 上的任意两点 ,有I12x.121f
29、ffx此定理(1)(3)的证明根据函数 的凸性及定理 5.1, (2)(3)根据拉格朗日中值定理和 递增条件,而(3)(1) 利用转化替换即可f得到,在此就不作一一证明了.19当然,对于凹函数,也有类似的结论.定理 5.31 设 为区间 上的二阶可导函数,则在 上 为凸fI If(凹)函数的充要条件是 . 0,xfxI此定理可由定理 1.1 和定理 5.2 推出.利用函数凸凹性证明不等式举例：例7 证明:当 ， 时，有不等式 0,yx.11)2()2(yx证明：记 ， ，则证明该不等式等价于证明不等式xuyv.)(1)(vu令 ，则 在 时大于零.tf 2)1( ttf 0于是有不等式 .)(
30、21)()2( vuvfuvufv 例14 证明不等式 ， nnyx2,0,nyxx证明：选取函数 ，且知此函数在 上连续且可导，tf)( ， .因为 ， ，所以1)(ntf 1 n1t，0t函数 在 内的图形是向上凹的. 因而对于区间ntf,0内任意 ，有 ，即, yx, 2)()(yfxyf.2nnyx注： 利用函数的凹凸性证明不等式导数的一个应用方面，在证明过程中我们一定要注意要观察好需要证明的不等式，适当选取函数作为辅助函数，然后对函数在指定区间讨论其性质，从而应用函数的凹凸性证之.20利用函数凹凸性证明不等式的步骤: 恰当地选取函数 ,使 在区间 内具有二阶导数;fxfI 判断二阶导
31、数 的符号,以判断其凹凸性; 由函数凹凸性的性质得到所要证的不等式.在涉及函数的凹凸性与不等式的问题时,我们还有一个重要的不等式Jensen 不等式.8、利用 Jensen(琴森)不等式证明不等式定义 46 如果 内存在二阶导数 则,(baxf在 )(“xf(1) 若对 则函数 在 内为凸函数0),(有 f,ba(2) 若对 则函数 在 内为凹函数.,(f有 )(若函数 内是凸(或凹)函数时,对)xf在及 ,有 Jensen(琴森)不等式,21ban ni1 i niiniiinii xfxfxfxf1 111 ()( 或 等号当且仅当 时成立.n2例 8 证明下列不等式.),21,0(112
32、1212 niaaaan innn 分析 上式只要能证明,)2,10(2121 nianinnn 如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的 可以看作是同一函数的多个不同函i21数值,设 那么就可以用 Jensen 不等式来证明它.然后只要令xfln)(,同理可得 .xf1l nnaaa 2121 证明： 令 )0(ln)(xxf 因为 ,所以 是凹函数2 ),(在f则对 有)(,21na )()(1( 2naffafnf 即 nnall)l 2121 又因为 nnan lll 所以 aann 2121令 , 则同理可得xfl)( nnaa 2121
33、所以 ),21,0(1121212 ninaaan innn 9、用两导数的不等性证明不等式在不等式的证明中,我们也可以由待证不等式建立两个在端点值相等的函数,比较两函数导数的大小,应用定理证明不等式.22定理 7.17 设函数 满足：(),fxg 在区间 上可导,ab 在区间 上有 ,()f ,()fg则在 上有 .,ab()fx证明： 设 ,则在 上,有()Fgab.()0fx因而, 是 上的增函数.()x,ab另一方面, ,且 ,故()fglim()xaF在 上递增且 ,于是,当 时 , ,()F0Fb()0xFa即 .()fxg此定理有明显的几何意义：如果曲线 ,都过同一(),()yf
34、g点 ,且当 时,曲线 的切线斜率大于曲线(,)Mafaxbx的切线斜率 ,则曲线 必在曲线 的上方.（如图ygx()yf()9.1）图 9.123类似地可得到定理 7.27 设函数 满足：(),fxg 在区间 上可导;,ab 在区间 上有 ;()f ,()fg则在 上有 .其几何意义如图 9.2.,ab()fx图 9.2证明思路:由待证不等式建立两个在端点值相等的函数 比较两函数导数的大小 应用定理证明不等式例 9 证明 , .3sin6x(0)x证 设 ,显然 ,求导,得：(),ifg()0fg.2 ()1,cosxf x为在 上判断 与 的大小,再求一次导,得：,0g.“(),()sin
35、()i)fx24因 ,即 ,故 ,即 .又因为0xsin()x“()fxg,在 上应用定理即知 .再在()1fg0上应用定理,知 ,即()fg.3sin6x(0)x10、用偏导数证明不等式对于导数在不等式中的应用,一般教材和论文只讨论单变量函数的一阶导数和二阶导数的应用,很少讨论偏导数的应用.其实偏导数在证明不等式中也有其重要的一面.我们先来看下面的定义.定义 58 设 是区域 中任意 4 个11212,ababG点,其中 .12,a若函数 满足 ,则()fxy121221(,)(,)(,)(,)0ffffab称 是区域 内的二元严格增函数;(,)fG若函数 满足 ,则(,)f121221(,
36、)(,)(,)(,)fabfff称 是区域 内的二元增函数;(,)fxy若函数 满足 ,则(,)f121221(,)(,)(,)(,)0fffabf称 是区域 内的二元严格减函数;(,)fG若函数 满足 ,则(,)fxy121221(,)(,)(,)(,)fabfff称 是区域 内的二元减函数.(,)f定理 8.18 设 在区域 内具有二阶连续混合偏导数,且(,)fxyG,则 是区域 内的二元严格增函数 .20fxy(,)f证明： 设 是区域 内的任意 4 个1234,abab25点,其中 .考虑表达式 12,ab,121212211()()(,)(,)(,)(,)(,)()ffffabffa
37、bffab并令 ,则上式可改写为 的形式.利gyyg用 Lagrange 中值定理,得：,(1)2121()()(bbg其中 .再利用中值定理,有 1 1,)yyfaf,.(2) “21()(xg其中 ,所以1a(3)“212121()()(,)yxbabf由于 ,(4)“,0yxff所以 ,21()g即 (5)121221,()(,)0fabffabf这就证明了 是区域 内的二元严格增函数.()xyG定理 8.28若 是区域 内的二元函数,且,f(1) ;12naa(2) ;b(3) 是 的一个排列, ,n (,)ijbG则有.11(,)(,)nni ii ifafa当且仅当 ,或 ,或 与
38、 是同一12na 2nbb iib个排列时等号成立.证明： 采用数学归纳法.当 时,不等式退化为等式,它一定成立.n假设不等式在 时成立 ,我们来证明当 时不等式也成立.设k1nk26时这个数对分别是 ,1nk12(,),()nabab其中 , .又若 是2ka 1k 121k的某一个排列,现考察所有数对 .121,kb (,),()nab如果存在一个数对 ,使得其中的 ,则把这一个数对划()sabsb掉之后,剩下来还有 个数对, , 121(,),()sab 121(),(),()sskaab按归纳法假定,对于这 个数对有k,11(,)(,)ki ii ifabfb两端各加 ,即得(,)ss
39、f.11()(,)kki ii iffa如果不存在这样的一个数对 使得 ,假设 ,再交,sbs1jb换 与 的位置而考察新的数对 .在jb1 12(),()()j jka 这些新的数对中存在着一个数对 满足关系 ,故由前面所证,ja1j应当有.1 12111(,)(,)(,)(,)(,)(,)ki j j j kifabffbfbfabfab 将上式右端之和记作为 ,即 S. 12111(,)(,)(,)(,)(,)j j j kSfabffabfabfab 同时,再记, 12 1(,)(,)(,)()j kffff 则有 111(,)(,)(,)(,)jj jSfabffabf. 1,j j
40、ab27注意到 ,并且由于是二元严格增函数 ,所以 ,11,jab 0S即 ,因此 .所以,对任意自然数 ,有S11()()kki ii iffabn.11,(,)nni ii iff至于等号成立的条件是显而易见的.例 10 设 , , ,120naa 120nb 02nab且 是 的一个排列, 则 .ibi 11t()ta()ni ii i证明： 设 ,则当 时,有(,)tanfxyy02xy,23cos()sin()由上面两个定理知所证结论成立.28结束语从上面我们可以得知，导数在证明不等式中的重要性.导数在证明不等式中的应用不仅在高考中出现，而且在历年研究生入学考试及各种高等数学竞赛中经
41、常出现，这是因为导数在不等式中的应用广泛，如在科学、技术、社会和生活方面的有关问题.虽然这方面内容应用广泛，然而不少同学对利用导数证明不等式的方法并不太了解，不善于揭示问题的内部规律及他们之间的相互联系而进行无用的大量运算.导数为证明不等式注入了新的活力，这一创造性思维有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系，培养我们的思维能力和逻辑推理能力，提高解题效率.随着时代的发展，科技的进步及课程改革的不断深入，导数的应用必将渗透到社会领域的方方面面.这就要求我们要加强导数的思想与方法教学，注重总结归纳，让学生深刻体会导数在解决不等式方面的应用性和工具性.本文通过举例和评注的
42、方式对导数在证明不等式中的方法进行了阐述，从上面的例子可以看出利用导数证明不等式的方法不拘一格.除本文例举的几种方法以外，证明不等式的方法还有很多，如级数法、积分法、对数法、传递法以及积分中值定理法等.用导数证明不等式时应具体问题具体分析，不能机械的就用某种方法.有时多种方法混合使用，会使问题变得更简单.29参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社,2001(06).2常见的代数不等式的证明 马德炎 (徐州师范大学, 江苏徐州 221011).3应用导数证明不等式 叶道义 (安徽省蚌埠干部学校 ,安徽 蚌埠 233719).4也谈利用凸函数证明初等不等式 陈秋华 (华北电力大学数理系, 北京 102206)5常庚哲,史济怀.数学分析教程M.高等教育出版社,2003(05).6Jensen 不等式在数学上的应用 刘小琼 刘新乐 ( 河南理工大学数学与信息科学学院 河南焦作 454000)7周晓农.导数在不等式证明中的应用J.金筑大学学报,2000(03).8高风昕.偏导数在不等式证明中的应用J.天中学刊,2006(10).9导数在不等式中的一些应用 陶毅翔 （宁德师范学院数学系, 福建 宁德 352100）10利用导数证明不等式的若干方法 尚肖飞 1, 贾计荣 2 (1.太原大学, 山西 太原 030009; 2.太原市教育学院, 山西 太原 030001)
