1、导数在研究不等式中的应用举例陕西 张磊导数问题和不等式问题相互交织构成了高考试题中的一道亮丽的风景线, 常见的题型有四种 .基本方法:构造函数,利用导数研究函数的单调性来解或证不等式或求最值研究恒成立问题.1 比较两个函数值大小 (尤其比较两抽象函数)(1) 设函数 f(x) , g(x)在(a ,b)上可导,且 (x) (x) ,则当 a g(x) (B) f(x)+ g(a) g(x)+ f(a)(C) f(x) g(x)+ f(b)解 构造函数 F(x)= f(x) g(x) ,则 (x)= (x) (x)0 ,故函数 F(x)𝐹 𝑓 𝑔在
2、区间a ,b上递增 ,又 a f(x)恒成立,又𝑓常数 a ,b 满足 ab0 ,则下列不等式一定成立的是 ( ) (A) bf(a)af(b) (B) bf(a)bf(b) (A) af(a)0 , 故函数 F(x) =f(x)𝑥 𝐹 x𝑓(x)f(x)𝑥2 f(x)𝑥在区间(0 ,+)上递增, 又 ab0 ,从而 ,即选 Af(𝑎)𝑎f(𝑏)𝑏2 求解不等式(3) 设 f(x) , g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 ,当
3、 x0 ,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)0 , 故函数 F(x)𝐹 𝑓 𝑔在 R 上递增, 又 f(x) , g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数且 g(-3)=0 结合题意提供的信息作出大致图像如图示, 不难得到不等式解集为D3 含参不等式恒成立问题解不等式恒成立问题的基本思想是把问题转化为求函数的最值或函数的值域的端点问题.利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数单调性,求出最值, 进而得出相应的含参不等式,从而求得参数的取值范围;也可分离变量构造函数, 直接把问题转化为函数最值问题.(4)已知函
4、数 f(x)=axlnx 的图像在点(e ,f(e)处的切线与直线 y=2x平行( 其中 e 为自然对数的底数),g(x)= bx2𝑥2求函数 f(x)的解析式对一切 x(0 ,e,3 f(x)g(x)恒成立,求实数 b 取值范围.解: 依题, 函数 f(x)=axlnx 的图像在点(e ,f(e)处的切线的斜率k=2,即 (e)=2 又 (x)=a(lnx+1),令 a(lne+1)=2,得 a=1,f(x)= xlnx𝑓 𝑓对一切 x(0 ,e,3 f(x)g(x)恒成立, 3 xlnx bx2 在 x(0 ,e上𝑥2恒成立.
5、即 bx3lnx 在 x(0 ,e上恒成立 , (分离变量法)2𝑥 令 h(x)= x3lnx x(0 ,e则 (x)= 由 (x)=02𝑥 (𝑥1)(𝑥2)𝑥2 得 x=1 或 x=2 x(0 ,1)时 (x)0 h(x)单调递增;x (1 ,2)时(x)0 , h(x)单调递增 h(x)极大值=h(1)=-1,而 h(e)=e32 0)的图像在点(1 ,f(1)处𝑏𝑥的切线与直线 y=2x+1 平行. 求 a ,b 满足的关系式 若 f(x)2lnx 在1 ,+)上恒成立,求 a
6、 的取值范围.解 (x)=a ,根据题意 (1)=ab=2 ,即 b=a2 𝑓𝑏𝑥2 𝑓 由知, f(x)=ax+ +22a𝑎2𝑥令 g(x)= f(x)2lnx= ax+ +22a2lnx ,x1 ,+),𝑎2𝑥则 g(1)=0 , (x)=a = ,𝑔𝑎2𝑥2 2 𝑥𝑎(𝑥1)(𝑥2𝑎𝑎)𝑥2当 01 若
7、11 时, (x)0 , g(x)在1 ,+)上为增 2𝑎𝑎 𝑔函数,又 g(1)=0 ,所以 f(x)2lnx综上所述,所求 a 的取值范围是1 ,+)4 利用导数证明不等式对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数,然后利用函数的单调性和极值解决.(6) 设函数 f(x)=x+a +blnx ,曲线 y=f(x)过 P(1 ,0),且在点 P𝑥2处的切线斜率为 2(i) 求 a ,b 的值 (ii) 证明 f(x)2x2解 (i) (x)=1+2ax+ 由已知条件得 即𝑓𝑏𝑥
8、𝑓(1)=0𝑓(1)=2 1+𝑎=01+2𝑎+𝑏=2解得 a=-1 b=3(ii)由(i)知 f(x)=x +3lnx 设 g(x)= f(x)(2x2)= 𝑥22x +3lnx 则 =-12x 𝑥2 𝑔(𝑥) +3𝑥 = (𝑥1)(2𝑥+3)𝑥当 01 时 𝑔(𝑥)0 𝑔(𝑥)0 时 , g(x)0 ,即 f(x)2x2解题
9、心得:利用导数证明不等式成立,重点是构造适当的函数,利用导数的方法研究函数的单调性,通过单调性证明不等式.(7) 已知 f(x)= +lnx ,求证:在1 ,+)上,f(x)的图像总在 g(x)12𝑥2= 的图像的下方.23𝑥3解析: 本题等价于证明 :当 x1 时,不等式 +lnx 恒成立 12𝑥2 23𝑥3构造函数 F(x)= +lnx ,则 (x)=x+ 2 = 12𝑥2 23𝑥3 𝐹 1𝑥 𝑥2(1𝑥)(1+𝑥+2𝑥2)𝑥因为 x1 所以 (x)0 故 F(x)在区间1 ,+)上是减函数,从而𝐹F(x) F(1)=- 0 ,即 +lnx 故在1 ,+)上 f(x)的图像总在 16 12𝑥2 23𝑥3g(x)= 的图像的下方 .23𝑥3通过以上几例可以看出,构造辅助函数是用导数方法求解或求证不等式问题的关键,只要函数构造的恰当,求解及推证的过程就会特别的简单、明快.
