1、974.7 导数在不等式证明中的应用一、利用单调性证明不等式单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用 单调性来证 明不等式便是顺理成章的事.在 4.4 中，我们利用导数的符号就能判断函数的 单调性。例 1. 设 ，证 明 2eab224ln()babe分析: 2244lnl,e()证 1: 设 ， 则 ，2()xx2lnxe，当 时， ，21l()0故 单调减小()x从而，当 时， ，2e224()xe单调增加 ，()xba即 ，故不等式成立 . 224lnlee注：有时需要多次使用导数符号判断单调性.证 2 分析: 2llba2,e2abe（ ）， 22lnln(ln)x因 为 2（ ），2
2、l1()0x而 ， ()e.e故 当 时 ， 单 减从而， ，即：2lnl42e22ln4bae注：综合使用中值定理和单调性.98例 2 证明 .sin,0,2xx 分析： i1, 证 令 sin,(0,2xf则 2costancoi 0,2xf x从而 在 单调减少，sinxf(0,当 时， 0202ffxfsin1,即 .i,0,2xx二、 利用中值定理证明不等式1、利用 Lagrange 中值定理证明不等式设 在 上连续，在 内可导， 则有 于()fx,ab(,)ab()(),)fbafab是，我们依据关于 的，得到不等式. 如：f（1） ()(),AxBx（2） 单调，fab（3）如果
3、 |()|xM， ()x例 3 证明：当 时，0ln(1).分析： 1ln().x证 注意到 ，故可将不等式 组变形为1ln()l1.x对函数 在 上利用拉格朗日中值 定理，于是，存在()lnfx,(0)x99,使)1(x .1)1(lnlx由于 故 ，即,1x)(lnlxl(1),(0).x2、利用柯西中值定理证明不等式设 在 上连续，在 内可导，且 则存在(),fxg,ab(,)ab(),gxab，使得 ,ba .)()(fgf如果 ，则可建立相应不等式.)(bxaMxgfN例 4 设当 ，证 明：当 ，)(|,0)(,0 xf且时 时0x(4.7.1)| 00x分析： = ()1fx0(
4、)1f证 当 时，式(4.7.1) 的等号成立.0当 时，有 由柯西中值定理知，存在 ，使得x).(0x),(0x.)()0ff考虑到 故 单调增加，有，0)(x(x00)(| |()|() |1.ff ff0|().fxx即综上可知，当 时，式(4.7.1)成立.01003、 利用泰勒中值定理证明不等式由泰勒公式或马克劳林公式可知，如果涉及具有二阶或更高 阶导数，可考 虑借助于函数的泰勒公式或马克劳林公式来证明，如果是已知最高 阶导 数的取值范围时，可用此条件来估计有关的量，从而可以证明某些不等式 .例 5设函数 的二阶导数 且 证明()fx()0,fx()lim1,xf().fx解 由于函
5、数 且具有一阶导数且 故得 ，()f 0()li,xf 1)0(,)(ff利用函数 一阶马克劳林公式：x其中 介于 x 与 0 之间，,2)(2)()0()( xffff .0f所以 ()x例 6 设函数 在 上二阶可导， ，且 .试证()fx0,1(0)1f|()|2fx.|x证 注意到条件中含有高阶导数，故我 们对函数 在 点处用一阶泰勒公式：ftx.)(!21)()( 2xtfxtf 分别将 代入上式,01t， 2112()()0()0,!1,.2fff xxxx注意到 ,两式相减，整理得到01ff .)1()(2)( 2221xfxfxf 因此， )(|)(|)(| 2121fff .
6、2 xx101三、 利用凹凸性证明不等式曲线的凹凸性反映的也是不等关系：或1212fxfxf 1212fxfxf如果可以从 的符号判断曲线是凹或者凸的，则对应上面的不等式就一定成立.)(f例 7 证明 当 时，,0,1xyn.2)(2nyxx证 设函数 ，则nft ).0()1(),)( 21 ttntft因此当 的图形是凹的.根据定义，有0tft， .2)(21nnyxx例 8 证明当 时，有0xsi.证 设 ，有f2sin)( ),0(2sin41)(,1co xxxfx则曲线 在 内是凸的. 又 ,所以当 时，点yf00()f和 所连的弦在曲线 的下方，即 ，从而0,yfxx.2sin1
7、02四、 利用最值证明不等式最值关系本身也是不等关系，因此要证明 或 ,则只需证明()fxM()fxmImax()in.xIIf或例 9 证明 ).1,0(,1)(21 ppp证 令 ,显然 在 上连续 ，故 在 上有最大值fxxfx， fx01，最小值 .Mm又由于 令 ,得驻点 ，另有区间端点11()(),ppf ()0f21,比较230x ,2,1)(01pff得 的最大值 ,最小值 因此，当 时，fxMff1.pmf1,0x.1)(21ppx例 10 证明 ).0(lnx证 令 由,1)(f2xx得惟一驻点 x=1.又，当 时 单调减少；010,ff当 时， 单调增加. 因此，函数 在点 处 取得最小值，最小 值为 ,所以当 时，有fx11f0x，()fx即 ln.4.8* 组合恒等式与相关变化率
