Jensen 不等式的证明 题目：若函数 f 是凹函数，X 是一随机变量，有： 。)()(XEff证明：原命题即证：对任意 ai， ，有： 。下面用数学归1i 11niiniixafxfa纳法进行证明。(1) 当 n=2 时，由于 f 是凹函数，由函数的凹性可得：，令 ，则)(1)()1( 212xfaxaxaf 12a，不等式成立；2ff(2) 假设当 n=k 时，不等式成立，即： ，则)()11niiniixafxfa当 n=k+1 时， )()( 1211 nnnii xaxafxaf )(2111ikif（函数的凹性） )()(2111ikixafxfa又因为 ，11321 kkii 1132ak根据假设可得：)()1()()1() 1222 ikiikiiki xfxafxaf 将代入 得：11211 )()()()( niiniinii xfxfxff即：当 n=k+1 时，不等式成立；由(1)(2)可得，Jensen 不等式成立，原命题得证。
