线性代数3-3

1、8.3 通路、回路、连通图、树及生成树,一、概念和公式的引出二、进一步的练习三、概念和公式的引出四、进一步的练习五、概念和公式的引出六、进一步的练习,且长度为2的通路，其中长度是指通路中边,任意两点之间都有通路的图为连通图,连通图,树,如果一个图是一个连通的，且不包含回路，这样的图称为树 。,生成树,如果一个连通图的某个子图是一棵树，则称该树为此图的生成树 。,v1到v4的通路，且长度为3；,为一条回路；且此图为一个连通图,练习2 在下图中，（a）、（b）是（1）的生成树,如果一个图中存在经过每一条边一次且仅只一次的,欧拉通。

2、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第三节 非齐次线性方程组,非齐次线性方程组有解的充要条件,非齐次线性方程组解的结构,一. 非齐次线性方程组有解的充要条件,简记为Ax=b。,向量，(A, b)称为增广矩阵。,为未知数列,（1）,（1）,即系数矩阵和增广矩阵分别为,方程组(1)的向量形式为,（2）,非齐次线性方程组Ax=b不一定有解。,定理1.,非齐次线性方程组Ax=b有解,定理2.,（2）,是对应齐次方程组Ax=0的解， 则,是非齐次方程组Ax=b的解。,二. 非齐次线性方程组解的结构,证明：,（1）,（2）,故（1）、（2）成立，证毕。,定理3.,齐次方程组Ax=b。

3、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第四节 向量空间,向量空间和子空间,中的基变换和坐标变换,一. 向量空间和子空间,定义1.,设V是由n维向量组成的非空集合，如果对,为空间V的基底，简称基。,是V中的向量（称V关于加法及数乘封闭），则称V为向,量空间。V的秩称为空间V的维数，V中的最大无关组称,例1.,全体n维向量组成的集合,的维数为n，任意n个线性无关的向量都是它的一个基,，显然关于加法,及数乘是封闭的，故它是向量空间。由3例2可知，它,底。,例2.,组成的集合V，即,有,例3.,组成的集合M，即,故M不是向量空间。,可见M关于数乘不封闭。

4、 1 3矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题 1 自由未知数个数的唯一性2 相抵标准形的唯一性3 矩阵秩的性质4 满秩矩阵的性质 一 矩阵的秩定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中 主元的个数 即非零行的数目 唯一 定义矩阵A用初等行变换化成。

5、 实对称矩阵的相似对角化 一 实对称矩阵的特征值和特征向量 希望找 使 关键 求A的n个标准正交的特征向量 定理实对称矩阵的特征值都是实数 定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的 证设 于是 二 实对称矩阵的相似对角化 定理设是n。

6、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第三节 矩阵的初等变换,初等变换,初等矩阵,利用初等变换求逆矩阵,矩阵行列式两个性质的证明,一. 初等变换,对矩阵作以下三种变换，称为矩阵的行初等变换：,（3）以k乘某行加到另一行。,（k乘第j行加到第i行,将三种变换中的“行”字改为“列”字，就称为列初,变换。,（记号依次换作,，,，,。）,行初等变换与列初等变换统称为初等变换。,矩阵经初等变换后会发生改变。,矩阵A经初等变换化成矩阵B，,用,表示仅用行初等变换将A化成B，,用,表示仅用列初等变换将A化成B。,矩阵的初等变换有以下性质：,等变。

7、实验目的,1、熟悉用MATLAB软件求矩阵的秩及矩阵的行简化阶梯形的命令,2、学会用MATLAB软件求线性方程组,数 学 实 验,一、向量组的秩及相关性（1）两个命令rank（A） 求矩阵A的秩rref （A）将A化为行简化阶梯形，其中单位向量对应的列向量即为极大无关组所含向量，且其它列向量的各分量是用极大无关向量组线性表示的组合系数。,例1 设向量组A：（1）求A的秩，判断向量组A是否线性相关； （2）求A的一个极大无关组； （3）将其余向量用极大无关组线性表示。,解： A1=2 1 4 3-1 1 -6 6-1 -2 2 -91 1 -2 72 4 4 9; A=A1； r=rank（A）r=3,A2=r。

8、第三节 惯性定律和正（负）定二次型,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过配方法化为标准形，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩, 即二次型矩阵A的秩,为正定二次型,为负定二次型,二、正定二次型,例如,为半正定二次型,为半负定二次型,例如,为不定二次型,证明,充分性,故,必要性,故,推论 实对称矩阵 正定,的特征值全为正,故,故,正定矩阵具有以下一些简单性质,（ 负定 正定）,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的。

9、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第三节 相似矩阵,矩阵的相似和对角化,相关示例,一. 矩阵的相似和对角化,定义.,设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使,（1）,则称A与B相似，记作,似变换，P称为相似变换矩阵。,，（1）式称为由A到B的相,若A相似于对角矩阵，则称A可对角化。,（2）若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式、,特征值、秩及相等的行列式。,性质：,（1）相似概念具有如下性质：,反身：,对称：,传递：,定理.,是A具有n个线性无关的特征向量。并且当,n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件,的A的线性无关特征向量。,推论.,似。

10、第三章 矩阵的逆,问：,这就是这一节要介绍的逆矩阵，它在矩阵理论和应用中有极其重要的作用。,引言：,第一节 逆矩阵,旌娩狠窈敛黥昧岽部诗精庄烦唐迎燎怍讴逸铖措悌皎昧冀寿擤彳当欢斑熄脐枥旯丧锪蚤憧庑痹猸筌驺沟铬黑腻,定义 设A为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵B，使得：,则称A是可逆矩阵，简称A可逆，并称B是A的逆矩阵。,逆矩阵的概念,耐崃瓢姚辰乓鞋鲩踹宫涧殖蹂锯饧磷火厩谳拮结罡敖畀望朽扶杩皙殳畹庙阱包搭,定理1 设A是可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。,证明:(同一法 ),设A有两个逆矩阵B和B1，即,则,故可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。,。

11、线 性 代 数 第三章 矩阵代数,第一节 矩阵的运算,第二节 矩阵的逆,第三节 矩阵的转置,第四节 矩阵的分块,第五节 矩阵运算后秩的变化,第一节矩阵的运算,矩阵 当 时，称 为 阶方阵或 阶矩阵，由一个方阵 组成的行列式称为方阵 的行列式，记作 。向量也是矩阵，一个 维行向量是一个 矩阵，一 个 维列向量是一个 矩阵。为了统一，今后若不特殊声明，凡是向量，都是指列 向量形式，即将 维向量视为一个 矩阵。,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,一、矩阵的线性运算 定义1 设有二个 矩阵 它们的加法 定义为数 与矩阵A的乘法（简称数乘。

12、 6 3惯性定理和二次型的规范形 定理任一秩为r的二次型 均可经过适当的可逆线性替换化为 其中 推论任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵 其中 设是n元二次型 且秩 A r 1 f是复二次型 存在可逆复线性替换把f化为 其中 。

13、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第三章 n 维向量空间,向量组的线性相关性,向量组的秩,向量空间的基本概念,主要内容：,向量的定义和运算,3,第一节 n维向量及其运算,向量的定义,向量的运算,一. 向量的定义,定义1.,记作,称为n维向量，,其中每一个数称为分量，,复向量。本书主要讨论实向量。,分量为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为,全体n维实向量记作,其分量就是向量在坐标轴上的投影。,二维、三维向量就是平面上及空间中的几何向量，,三维几何向量在许多性质上有相似之处。,向量就,没有直观的几何意义了。称其为向量，是。

14、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第二节 向量组的线性相关和线性无关,线性相关和线性无关的定义,有关性质和判定,一. 线性相关和线性无关的定义,定义1.,如果存,的线性组合。,定义2.,如果存在m个,（2）,（1）,（2）,即只有当,全为0时，（2）式才成立，,换句话说，即,线性无关,若,则,线性相关与线性表示有以下关系：,线性相关,可由其余向量线性表示。,中至少有一个向量,二. 有关性质和判定,例1.,设,则,而,若,则必有,例2.,是线性无关的，因为如果,则必有,例3.,关，因为,且1，0，0，0不全为0。,例4.,对于只含一个向量的向量组，则有,线。

15、 3 3带度量的空间 一 向量的内积 定义设V是实向量空间 任取 设则与的内积规定为 性质3 3 1 定义3 3 2定义了内积运算的实向量空间称为Euclid空间 简称为欧氏空间 二 向量的度量 定义设V是欧氏空间 任取 则 的长度规定为 。

16、第三节向量组线性相关性的进一步讨论 引言 n阶方阵A的秩R A n A 0 这时称矩阵A是满秩矩阵 如果把此矩阵A看作是由n个列向量构成的 这n个向量是线性无关的 上节讨论向量组的线性相关性时 我们知道当 A 0时 向量组线性相关 此时矩阵的秩 n 那么向量组的线性相关性与其对应的矩阵的秩之间有何关系呢 本节主要讨论此问题 向量组的线性相关性与矩阵的秩有下面定理 定理3 1m n矩阵A的m个行向量。

17、,一、线性方程组有解的判定条件,问题：,证,必要性.,从而,这与原方程组有非零解相矛盾，,充分性.,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,证,必要性,则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,（解的存在性定理）,即可得方程组的一个解,充分性.,证毕,其余 个作为自由未知量,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,小结,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,例1 求解齐次线。

18、3 线性方程组的解,一、线性方程组的表达式,一般形式向量方程的形式方程组可简化为 AX = b ,增广矩阵的形式向量组线性组合的形式,二、线性方程组的解的判定,设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解， 就称它是不相容的,问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？,m、n 不一定相等！,定理：n 元线性方程组 Ax = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多。

19、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第三节 向量组的秩,向量组的极大无关组和秩,定理和示例,一. 向量组的极大无关组和秩,定义1.,设有两个n维向量组A，B如下,A：,B：,称向量组A可由向量组B线性表示。,若A中每一个向量都可以由向量组B线性表示，则,以由向量组A线性表示，则称向量组A与B等价。,若向量组A可由向量组B线性表示，且向量组B也可,量组B可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C,不难验证，若向量组A可由向量组B线性表示，又向,线性表示。,例1.,设A，B两组向量为,A：,B：,则有,故A组可由B组线性表示。,又有,故B组也可由A组线。