1、线 性 代 数 第三章 矩阵代数,第一节 矩阵的运算,第二节 矩阵的逆,第三节 矩阵的转置,第四节 矩阵的分块,第五节 矩阵运算后秩的变化,第一节矩阵的运算,矩阵 当 时，称 为 阶方阵或 阶矩阵，由一个方阵 组成的行列式称为方阵 的行列式，记作 。向量也是矩阵，一个 维行向量是一个 矩阵，一 个 维列向量是一个 矩阵。为了统一，今后若不特殊声明，凡是向量，都是指列 向量形式，即将 维向量视为一个 矩阵。,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,一、矩阵的线性运算 定义1 设有二个 矩阵 它们的加法 定义为数 与矩阵A的乘法（简称数乘）定义为,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的
2、运算,例1 设求：,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,二、矩阵的乘法 定义2 设矩阵 那么矩阵 其中 称为矩阵 与 的乘积，记作 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,例2 设 求例3 设 求,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,矩阵乘法不同于一般数的乘法，应注意以下事项： 1）矩阵乘法不满足交换律。 2）矩阵乘法不满足消去律。 3）若矩阵乘法有 ，不见得有 或 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,矩阵乘法运算规律： 1）矩阵乘法的结合律：2）数乘与矩阵乘法的结合律：3）矩阵乘法对加法的分配律：,引进了矩阵乘法，要注意应用 。,线性代数
3、第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,设 ， ， 则,表示线性方程组,例4（P67/33） 为线性方程组 的 解向量，若 ，则 亦为的解向量。,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,定义3 阶方阵 称为 阶单位矩阵，记做 或 或 。 单位矩阵在矩阵的乘法中有以下特殊作用：对于 矩阵有 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第1节 矩阵的运算,定义4 阶方阵 称为数量矩阵。对于 矩阵 有 。,定义5 设 为 阶方阵， 是正整数，称 个 连乘积为的 次幂，记做 ，并约定 。,但是，若 、 均为 阶方阵：,并且有：,定理 若 、 均为 阶方阵，则 。,第二节 矩阵的逆,一、逆矩阵的概念 定义1
4、为 阶矩阵，如果存在一个 阶方阵 ， 使得 称 为可逆矩阵，并称 为 的逆矩阵，记作,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,定理2 阶矩阵 可逆的充分必要条件为 ，且推论 设 均为 阶矩阵，且满足 则 均可逆，且 。例1 ，验证 是否可逆，若可逆求 。例2 设 阶矩阵 满足 ，试证： 可逆， 并求 。若条件改为 ，结论是否成立？ 又已知条件不变，试证： 可逆，并求 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,可逆，且,求解矩阵方程 1、 （其中 为 阶可逆矩阵， 为 矩阵）,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,方程两边左乘 ： 从形式上看，逆矩阵起到了“除”的作用。当
5、为 矩阵时， 可逆即 ，方程组的解 与克莱姆法则结果是一致的。,2、 （其中 为 阶可逆矩阵， 为 矩阵）。,例3 求解矩阵方程,方程两边右乘 ：,求逆矩阵可看作是矩阵的一种运算，有以下运算规律： 1）若 可逆，则 也可逆，且 。 2）若 均为 阶可逆矩阵，则 也可逆，且 3）若 可逆， ，则 也可逆，且 。4）若 可逆，则 。 （书P78）例4 为 阶可逆矩阵， 为 的伴随矩阵。求： （用 表示）。,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,可逆矩阵是一类特殊的 阶方阵，其有以下充分必要条件：阶矩阵 可逆 存在 阶方阵 使 。 。（也称 为非退化矩阵） 的行（列）向量组线性无关。 。（也
6、称 为满秩矩阵）,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,二、初等矩阵和逆矩阵方法之二 定义3 由单位矩阵经一次初等变换，得到的矩阵称为 初等矩阵。初等矩阵有以下类型：,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,1）把 阶单位矩阵 的第 行(列)与第 行(列)互换。,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,2）把 阶单位矩阵 的第 行(列)同乘一个非零常数 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,3）把 阶单位矩阵 的第 行(第 列)的 倍加到第 行 (第 列)上。,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,初等矩阵在矩阵乘法中起到了特殊的作用。对 矩阵 作一次行
7、初等变换，就相当于在 的左边乘一个与 行初等变换对应的 阶初等矩阵；对 作一次列初等变换，就相当于在 的右边乘一个与该列初等变换对应的 阶初 等矩阵。(左行右列原则) (书P79),线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,例7 ，求：初等矩阵 ， ，使 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍为初等矩阵。(书P80)由于 阶可逆矩阵 秩为 ，故一定可以经过一系列的 行初等变换化为单位矩阵，即 。这个初等变换的 “ ”可以用初等矩阵表成等式，即存在一系列初等矩 阵 使,线性代数 第三章 矩阵代数 第2节 矩阵的逆,这表明,两边右乘,线性代数 第三章
8、矩阵代数 第2节 矩阵的逆,例5 用初等变换法求 的逆矩阵,例6 设问在什么条件下 可逆，求 。,第三节矩阵的转置,一、矩阵转置的基本概念 定义1 一个 矩阵，若将其行改为列，得到一个 矩阵 ，称 为 的转置矩阵，记作 或 。显然矩阵 的 元即为转置矩阵 的 元，故若，可记 。转置运算满足以下运算规则：（书P83） 1) 2) 3) 4) 5) 若 可逆，则 也可逆，且 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第3节 矩阵的转置,二、对称矩阵与反对称矩阵 定义2 一个 阶矩阵 若满足 就称之为对称矩阵，一个 阶矩阵 若满足 就称之为反对称矩阵。对称矩阵与反对称矩阵的性质： 1）若 为对称矩阵,则若 为
9、反对称矩阵,则2）若 均为（反）对称矩阵，则 ， 仍为（反）对称矩阵。 3）设 为对称矩阵，且 可逆，则 仍为对称矩阵。 4） 为任一 矩阵，则 或 为对称矩阵。 5）奇数阶反对称矩阵的行列式值为零。（书P13/例4）,线性代数 第三章 矩阵代数 第3节 矩阵的转置,三、正交矩阵 定义3 一个 阶实矩阵 ，若满足 ，就称 为 正交矩阵。正交矩阵的性质： 若 为正交矩阵 的每一行（或列）的 个数平方和为1，两个不同行（或列）对应元素乘积之和 为0。 2) 为正交矩阵，则 。 3) 均为 阶正交矩阵，则 亦为正交矩阵。 4) 正交矩阵行列式值为1或-1。,线性代数 第三章 矩阵代数 第3节 矩阵的
10、转置,第四节矩阵的分块,设 为 矩阵，在它的行与列之间加一些直线，把这个矩阵分为若干小块，用这种方法被分为若干小块的矩阵叫做分块矩阵。 对矩阵 常用的分块为A按列分块，即设 其中 为 的列向量，或 按行分块，即设 ， 其中 为行向量。对矩阵作了适当的分块后，在进行矩阵的某些运算时，就可以把每一小块看作一个元素，再作同样的运算。,线性代数 第三章 矩阵代数 第4节 矩阵的分块,1、数乘、转置：可任意分块。 2、加法 ： 、 分块方法一致。 3、乘法 ： 列的分法与 行的分法一致。4、分块求逆：准对角形矩阵 ，若 （书P88）均可逆，则 可逆，且 。特别地，对角形矩阵 ，若 均不为0，则 可逆，
11、。,线性代数 第三章 矩阵代数 第4节 矩阵的分块,例1 （1）设 为三阶矩阵， ， ，且 ，求 。 （2）若 条件同上， ， 。求： 。 例2 求 。例3 若 可逆，求证 可逆，并求 。例4 为 矩阵， 为 矩阵，且 ， 求证：1） 的每个列向量均为齐次线性方程组 的解向量。 2）,线性代数 第三章 矩阵代数 第4节 矩阵的分块,第五节矩阵运算后秩的变化,定理1 矩阵转置、数乘、求逆后有为 阶可逆矩阵，有 定理2 设 均为 矩阵，则 。 定理3 设 为 矩阵， 为 矩阵，则 ， 且 ，即 。推论1 若 则推论2 若 为 矩阵， 分别为 阶、 阶可逆矩阵，则 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第5节 矩阵运算后秩的变化,例1 设 ， ， ，求证：例2 （书P98/28）设 为 矩阵，证明存在一个非零 矩阵 ，使得 的充分必要条件为 。,线性代数 第三章 矩阵代数 第5节 矩阵运算后秩的变化,m个线性无关的列向量,
