1、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第四节 向量空间,向量空间和子空间,中的基变换和坐标变换,一. 向量空间和子空间,定义1.,设V是由n维向量组成的非空集合，如果对,为空间V的基底，简称基。,是V中的向量（称V关于加法及数乘封闭），则称V为向,量空间。V的秩称为空间V的维数，V中的最大无关组称,例1.,全体n维向量组成的集合,的维数为n，任意n个线性无关的向量都是它的一个基,，显然关于加法,及数乘是封闭的，故它是向量空间。由3例2可知，它,底。,例2.,组成的集合V，即,有,例3.,组成的集合M，即,故M不是向量空间。,可见M关于数乘不封闭（实际上关于加法也不封闭），,例4.,
2、只由零向量组成的集合,有基底的向量空间。,，显,然有0+0=0，0=0，故V是向量空间，称为零空间。因为,只含零向量的向量组的秩为0，它没有最大无关组。因,此，零空间的维数为0，它没有基底。零空间是唯一没,定义2.,于线性运算封闭，故,有零向量。因此，零空间0是任何向量空间的子空间。,，即任何向量空间都含,空间。,例5.,有,二.,中的基变换和坐标变换,个基底。,性表示：(以下向量都是列向量),（1）,把这个关系写成矩阵等式为,（2）,其中,由3,定理8可知,过渡矩阵A是关系式（1）的系数矩阵的转置矩阵。,，故过渡矩阵是可逆矩阵。应当注意，,利用(2)式可以得到,，因为,在一个基下的表达式唯一，故得,总之，我们得到以下三个公式：,(1)新旧基变换公式：,(3)新旧坐标变换公式：x= Ay,作是矩阵等式。,例6.,例7.,个基为,，另一,求它关于后一个基的坐标。,例8.,（填空）已知三维向量空间的一个基为,本 节 完,解：,设过渡矩阵为A，则,故有,解：,故有,在后一个基的坐标为,解：,设所求坐标向量为,，则有,故有,
