线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第二节 向量组的线性相关和线性无关,线性相关和线性无关的定义,有关性质和判定,一. 线性相关和线性无关的定义,定义1.,如果存,的线性组合。,定义2.,如果存在m个,（2）,（1）,（2）,即只有当,全为0时，（2）式才成立，,换句话说，即,线性无关,若,则,线性相关与线性表示有以下关系：,线性相关,可由其余向量线性表示。,中至少有一个向量,二. 有关性质和判定,例1.,设,则,而,若,则必有,例2.,是线性无关的，因为如果,则必有,例3.,关，因为,且1，0，0，0不全为0。,例4.,对于只含一个向量的向量组，则有,线性相关,线性无关,线性相关和线性无关有以下性质：,（1）,则增加一些向量,则去掉一些向量,（2）,线性相关，,则,且表示法唯一。,例5.,线性无关，问,（1）,（2）,例6.,则,本 节 完,证明：,则（2）式成立，,（2）,不妨设,则（2）式可以改写成,则有,于是有,证明：,于是：,证明：,使得,于是,故,线性相关。,第二个命题是第一个命题的逆否命题，故成立。,证明：,故存在不全为0的数,，使,必有,，且,不全为0，,于是有,两式相减，得,因而有,即表示式是唯一的。,解：,（1）,能。,关，,（2）,不能。,又已证,解：,已知的等式可改写成,
