1、1 线性代数第2讲 下载网址 http 应用数学 cn 2 1 3行列式的性质 3 将行列式D的行与列互换后得到的行列式 称为D的转置行列式 记为D 或DT 即如果 性质1将行列式转置 行列式的值不变 即DT D 4 证 记D的一般项为 它的元素在D中位于不同的行不同的列 在DT中就位于不同的列不同的行 相应的DT中的一般项也是如此 符号也是一样 因此 D与DT是具有相同项的行列式 所以D DT 5 由此性质知 行列式的行具有的性质 它的列也具有相同的性质 6 性质2交换行列式的两行 列 行列式的值变号 证 设 7 交换D的第i行和第s行 得到行列式 8 记D的一般项中n个元素的乘积为 它的元
2、素在D中位于不同的行不同的列 因而在D1中也位于不同的行不同的列 所以也是D1的一般项的n个元素乘积 由于D1是交换D的第i行与第s行 而各元素所在的列并没有改变 所以它在D中的符号为 在D1中的符号则为 9 由于排列1 i s n与排列1 s i n的奇偶性相反 所以 因而D1中的每一项都是D的相应项的相反数 所以D1 D 10 推论如果行列式中有两行 列 的对应元素相同 则此行列式的值为零 因为将行列式D中具有相同元素的两行互换其结果仍是D 但由性质2可知其结果应为 D 因此D D 所以D 0 11 性质3用数k乘行列式的某一行 列 等于以数k乘此行列式 即如果D aij 则 12 证 因
3、为行列式D1的一般项为 上面等号右端方括号内是D的一般项 所以D1 kD 由性质1可知 对列的情形也成立 同样 行列式的其它性质都只对行的情形加以证明就够了 13 推论1如果行列式某行 列 的所有元素有公因子 则公因子可以提到行列式外面 推论2如果行列式有两行 列 的对应元素成比例 则行列式的值等于零 因为由推论1可将行列式中这两行 列 的比例系数提到行列式外面 则余下的行列式有两行 列 对应元素相同 由性质2可知此行列式的值等于零 所以原行列式的值等于零 14 性质4如果将行列式中的某一行 列 的每一个元素都写成两个数的和 则此行列式可以写成两个行列式的和 这两个行列式分别以这两个数为所在行
4、 列 对应位置的元素 其它位置的元素与原行列式相同 15 即如果 则D D1 D2 16 证 因为D的一般项是 上面等号右端第一项是D1的一般项 第二项是D2的一般项 所以D D1 D2 17 推论如果将行列式某一行 列 的每个元素都写成m个数 m为大于2的整数 的和 则此行列式可以写成m个行列式的和 18 性质5将行列式某一行 列 的所有元素同乘以数k后加于另一行 列 对应位置的元素上 行列式的值不变 19 证 设 20 以数k乘D的第s行各元素后加于第i行的对应元素上 得 21 因此可得 22 1 4行列式按行 列 展开 23 一 行列式按某一行 列 展开定义1 3在n阶行列式D aij
5、中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记为Mij 24 即 1 5 aij的余子式Mij前添加符号 1 i j 称为aij的代数余子式 记为Aij 即Aij 1 i jMij 1 6 25 例如 四阶行列式 中 a32的代数余子式是 26 a13的代数余子式 27 定理1 4n阶行列式D aij 等于它的任意一行 列 的各元素与其对应代数余子式乘积的和 即D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 或D a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 28 证 1 首先讨论D的第一行中的元素除a11 0外 其余元素
6、均为零的特殊情形 即 29 因为D的每一项都含有第一行中的元素 但第一行中仅有a11 0 所以D仅含有下面形式的项 等号右端方框内正是M11的一般项 所以D a11M11 再由A11 1 1 1M11 M11 得到D a11A11 30 2 其次讨论行列式D中第i行的元素除aij 外 其余元素均为零的情形 即 31 将D的第i行依次与第i 1 2 1各行交换后 再将第j列依次与第j 1 2 1各列交换 共经过i j 2次交换D的行和列 得 32 3 最后讨论一般情形 33 最后得 34 显然这一结果对任意i 1 2 n均成立 同理可证将D按列展开的情形 35 定理1 5n阶行列式D aij 的
7、某一行 列 的元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积的和等于零 即ai1As1 ai2As2 ainAsn 0 i s 或a1jA1t a2jA2t anjAnt 0 j t 证 设将行列式D中第s行元素换为第i行 i s 的对应元素得到D1 则D1两行相同 因而D1 0 再将D1按s行展开 则D1 ai1As1 ai2As2 ainAsn 0 i s 同理 可证D1按列展开的情形 36 综合上面两个定理的结论 得到 37 例1 分别按第一行与第二列展开行列式 38 解 1 按第一行展开 39 2 按第二列展开 40 例2 计算行列式 解 将D按第三列展开 则应有D a13A13 a23A23 a33A33 a43A43其中 a13 3 a23 1 a33 1 a43 0 41 42 所以D 3 19 1 63 1 18 0 10 24 43 计算行列式时 可以先用行列式的性质将行列式中某一行 列 化为仅含有一个非零元素 再按此行 列 展开 变为低一阶的行列式 如此继续下去 直到化为三阶或二阶行列式 44 如例2中的行列式 45 46 作业习题一 A 第36页开始第13 14 31题
