线性代数-习题选讲

1、线性代数LinearAlgebra 三石春超 本讲重点 行列式的性质与计算 n阶行列式的定义 n阶行列式的定义 定义 计算行列式的方法之一 利用定义 例1计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零 所以只能等于 同理可得 。

2、,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）,个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且 , 全排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列,在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数, 逆序数,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,方法2,方法1,分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即。

3、多媒体教学课件 DepartmentofMathematics 线性代数第十五讲 主讲人 王修建 2010年 春学期 对称矩阵的对角化 一个n阶方阵可以对角化的充要条件是具有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都能对角化 但实对称矩阵。

4、线性代数LinearAlgebra 五石春超 本讲主要内容 一 习题选讲 二 行列式按行 列 展开推论 三 克拉默法则及其应用 习题一 1 3 注 也可看作一个3阶范德蒙德行列式 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和 即算出排列中每个。

5、1 方阵A与其特征值之间有如下的重要关系 设n阶方阵A的n个特征值为l1 l2 ln 则 2 证明 1 比较上面两式的右边 注意ln 1的系数 可有 3 2 在 lE A l l1 l l2 l ln 中 令l 0代入 得 4 例4 8若A。

6、2019/11/6,1,线性代数第2讲,作业的问题,2019/11/6,2,作业的问题,作业中最大的问题就是, 许多学生并没有将方程的增广矩阵, 经过一系列行初等变换后, 变化成行简化阶梯矩阵, 将任何一个矩阵经过一系列行初等变换, 变化成行简化阶梯矩阵, 是线性代数的基本技术, 一定要掌握.,2019/11/6,3,行简化阶梯矩阵的例:,2019/11/6,4,不是行简化阶梯矩阵的例:,2019/11/6,5,不是行简化阶梯矩阵的例:,2019/11/6,6,不是行简化阶梯矩阵的例:,2019/11/6,7,不是行简化阶梯矩阵的例:,2019/11/6,8,习题1,2019/11/6,9,2019/11/6,10,2019/11/6,11,2019/11/6,12,201。

7、2019/11/6,1,线性代数第7讲,分块矩阵,2019/11/6,2,把一个5阶矩阵,用水平和垂直的虚线分成4块.,2019/11/6,3,把一个mn矩阵A, 在行的方向上分成s块, 在列的方向分成t块, 称为A的st分块矩阵, 记作A=Aklst, 其中Akt(k=1,2,.,s,l=1,2,.,t)称为A的子块, 它们是各种类型的小矩阵. 常用的分块矩阵, 除了上面的4块矩阵, 还有以下几种形式:,2019/11/6,4,按行分块,2019/11/6,5,按列分块,2019/11/6,6,当n阶矩阵C中非零元素都集中在主对角线附近, 有时可以分块成对角块矩阵(准对角矩阵),其中Ci是ri阶方阵(i=1,2,.,m; r1+r2+.+rm=n),2019/11/6,7,例如,201。

8、1,线性代数第2讲,2,矩阵的乘法在线性代数中有许多重要的应用. 这里先介绍作为线性代数课程主要内容之一的线性方程组以及线性变换的概念和它们的矩阵形式.,3,二元线性方程组,其中a,b,c,d,p,q为常数, x,y为未知数.,4,由m个方程, n个未知数组成的线性方程组, 一般形式是,5,其中x1,x2,xn为未知数, aij是第i个方程中未知数xj的系数, (i=1,2,m; j=1,2,n); bi (i=1,2,m)称为常数项. 如果这m个常数b1,b2,bm不全为零, 称方程组(1.6)为非齐次线性方程组;,6,如果b1,b2,bm全为零, 即,称方程组(1.6)为齐次线性方程组.,7,线性方程组与矩阵有密切的关系. 。

9、2020 4 28 1 线性代数第10讲 线性方程组 2020 4 28 2 3 4齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构 2020 4 28 3 对于以m n矩阵A为系数矩阵的齐次线性方程组AX 0 3 15 如果把A按列分块为A a1 a2 an 它就可以表示为向量等式x1a1 x2a2 xnan 0 3 16 因此 3 15 有非零解的充分必要条件是a1 a2 an线性相关 秩 A 秩 a1。

10、第四章线性方程组的解的结构,一.齐次线性方程组解的性质 二.基础解系及其求法 三.非齐次线性方程组解的性质 四.小结,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组。

11、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,上页,下页,返回,引例,首页,结束,铃,1 矩阵的初等变换,2 矩阵的秩,3 线性方程组的解,3.1 矩阵的初等变换,上页,下页,返回,引例,首页,结束,铃,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程组变为另一个同解的方程组 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,显然 交换B的第1行与第2行即得B1,增广矩阵的比较,例如,下页,显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解。

12、第二节 矩阵的运算,矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 矩阵的转置 方阵的行列式 共轭矩阵 小结,解法1,例4,归纳出,下面再用数学归纳法来证明（略）。,解法二：令矩阵,则A=E+B,经计算知：,故有,用矩阵乘法表示线性运算,线性方程组的一般形式,即,AX=B,线性变换,可表示为：,记作： Y = AX,（1）x到y,例如,Y=AX,X=BZ,Y=ABZ,故z到y的线性变换为,由矩阵与线性变换一一对应,可知,例、某航空公司在,四城市之间的航线图,定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT 或 A.,例如,四、矩阵的转置(Transpose),转置矩阵。

13、线性代数 Linear Algebra,六石春超,本讲主要内容,一. 矩阵的概念及定义。 二. 矩阵的运算。,重点：矩阵的乘法运算。,矩阵 (Matrix) 概念的引入,1. 线性方程组,的解取决于,系数,常数项,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,3. 某电器公司有两个主要代理商销售空调、电。

14、线性代数习题答案,上一页 下一页 第一页 最末页 退出,习题一,求下列各排列的逆序数 :,解 :,上一页 下一页 第一页 最末页 退出,(2) 987654321,解,=36,上一页 下一页 第一页 最末页 退出,(3) n(n-1)321,解,上一页 下一页 第一页 最末页 退出,(4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2,解,=n(n-1),上一页 下一页 第一页 最末页 退出,2 . 求出 j, k 使九级排列 24j157k98 为偶排列.,解 : 所缺数字为 3 和 6,(1) 若 j = 3, k = 6,为偶排列,(2) 若 j = 3, k = 6,为奇排列,所以 j = 3, k = 6.,。

15、,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）,个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且 , 全排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列,在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数, 逆序数,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,方法2,方法1,分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即。

16、1 线性代数第2讲 下载网址 http 应用数学 cn 2 1 3行列式的性质 3 将行列式D的行与列互换后得到的行列式 称为D的转置行列式 记为D 或DT 即如果 性质1将行列式转置 行列式的值不变 即DT D 4 证 记D的一般项为 它。

17、1.利用画线法计算下列行列式：,解 D=64,第一章习题A（22页）,解 D=4584961057248,=2,0,解 D=a3b3c3abcabcabc,解 D=60+0000,=a3b3c33abc,=6,2. 计算下列排列的逆序数:,解 (1) (35214)=0+0+2+3+1=6,(1) 35214; (2)12 3 (n1)n；(3)n(n1)321;,(4) 1 3 5 (2n1)246 (2n),(2) 12 3 (n1)n=0,(3) n(n1)321=0+1+2+(n1)=n(n1)/2,(4) 1 3 5 (2n1)246 (2n),=0+0+0+0+(n1)+(n2)+1+0,=n(n1)/2,3. 在所有n级排列中，试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一？又逆序数介于它们之间的排列是否唯一？,(1)125i86j94为奇排列；(2)61357ij48为偶排列。