1、1,线性代数第2讲,2,矩阵的乘法在线性代数中有许多重要的应用. 这里先介绍作为线性代数课程主要内容之一的线性方程组以及线性变换的概念和它们的矩阵形式.,3,二元线性方程组,其中a,b,c,d,p,q为常数, x,y为未知数.,4,由m个方程, n个未知数组成的线性方程组, 一般形式是,5,其中x1,x2,xn为未知数, aij是第i个方程中未知数xj的系数, (i=1,2,m; j=1,2,n); bi (i=1,2,m)称为常数项. 如果这m个常数b1,b2,bm不全为零, 称方程组(1.6)为非齐次线性方程组;,6,如果b1,b2,bm全为零, 即,称方程组(1.6)为齐次线性方程组.,
2、7,线性方程组与矩阵有密切的关系. 方程组(1.6)(或(1.6)的未知数系数所组成的mn矩阵,称为系数矩阵;,它的常数项组成m1列矩阵, 称为 常数(列)向量, 记作b, 即,8,9,增广矩阵：将常向量b写在系数矩阵 A的右边, 即,10,除了未知数的名称, 非齐次线性方程组与它的增广矩阵一一对应; 齐次线性方程组与它的系数矩阵一一对应.,11,记未知数向量为：,则线性方程组(1.6, 1.6)可改写成：,12,事实上，由矩阵相等方程组(1.6)可写成:,上式左边的矩阵可写成两矩阵的乘积:,所以Ax=b.,13,线性变换及其矩阵表示 变量x1,x2,x3到变量y1,y2的一个线性变换是指,其
3、中aij为常数(i=1,2;j=1,2,3), 它们构成矩阵,称为线性变换(1.7)的矩阵.,14,线性变换与此线性变换的矩阵互相 唯一确定. 线性变换 也可写成矩阵形式 Ax=y (1.7),15,设另有由变量y1,y2到变量z1,z2,z3的 线性变换,写成矩阵形式z=By (1.9),其中，,16,如果先进行线性变换(1.7)(Ax=y), 再进行线性变换(1.9)(z=By), 求从变量x1,x2,x3到变量z1,z2,z3的线性变换呢? 利用线性变换的矩阵形式: z=By=B(Ax)=(BA)x, 即有 z=(BA)x, 这表明矩阵BA就是由变量x1,x2,x3到变量z1,z2,z3
4、的线性变换矩阵.,17,2. 方阵的乘幂与多项式 设A是n阶方阵, 由矩阵乘法的定义和结合律, k个A相乘是有意义的, 记作Ak, 即,Ak仍是n阶方阵, 称为A的(k次)幂, 规定A0=E. 方阵的幂满足以下运算规律:(i) AkAl=Ak+l(ii) (Ak)l=Akl, 这里k,l为非负整数.,18,但要注意, 当A,B为同阶方阵时,只有当AB=BA时, 上两式右端相等. 一般地，(AB)kAkBk, 这是方阵的幂的运算与数的幂的运算不同的地方.,19,例1.6 设L=diag(l1,l2,ln), 求L3. 解,20,21,由此可知, 对角阵的幂很容易计算: 对角阵L的幂仍然是对角阵,
5、 且其对角阵元素就是L的对应元素的同一次幂. 下面介绍矩阵多项式的概念及性质.,22,设有x的多项式 j(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0, A为n阶方阵. 如果多项式右端的每一项中的x的幂用方阵A的同次幂替代(x的零次幂用A0=E替代), 那么上式右端每一项都是n阶方阵, 其和还是n阶方阵, 记此n阶方阵为j(A), 即 j(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0E, 称为矩阵A的多项式.,23,例如：当A为方阵时, A3-2A, A2-3A+2E都是矩阵多项式. 对于矩阵多项式, 我们可以象数x的多项式一样相乘或分解因式.,24,例1.7 (1)计算(A+3E)(A-
6、2E); (2)分解 矩阵多项式A2-3A+2E. 解 由矩阵乘法的分配律, (1) (A+3E)(A-2E)=A(A-2E)+3E(A-2E) =A2-2A+3A-6E=A2+A-6E; (2) A2-3A+2E=(A-2E)(A-E).,25,例1.8 设L=diag(l1,l2,ln), j(x)=x2-5x+4, 求j(L). 解 j(L)=L2-5L+4E,26,即有,27,即有,对于对角阵L, 上式对任一多项式j(x)都是成立的, 因此对角阵的多项式是很容易计算的.,28,在许多实际应用的问题中, 经常要计算方阵的幂和矩阵多项式.,29,例1.9 某岛国里每年有30%的农村居民移居
7、城市, 有20%的城市居民移居农村. 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移规律也不变, 该国现有农村人口320万, 城市人口80万. 问该国一年后农村与城市人口各是多少?2年后呢?,30,解 设k年后该国农村人口与城市人口分别为xk和yk(单位:万), 这里正整数k1. 下面计算x1,y1和x2,y2. 由题意有,写成矩阵形式,即一年后, 农村人口240万, 城市人口160万.,31,记矩阵,则,于是,32,即2年后, 农村人口与城市人口各为200万. 类似地, 不难得出,33,方阵乘积的另一个重要应用是有向图. 有向图是由一些顶点及顶点之间的弧构成的图. 若顶点i到顶点j之间有弧, 就记此
8、弧为(i,j), 在图上用从i到j的带箭头的弧表示. 有向图广泛地用在工程,网络,物流及经济活动中.,34,图1.1是有4个顶点, 8条弧的有向图. 它可表示某航空公司在4个城市之间的运行图, 这里顶点看作城市, 城市i到j有航班, 则i到j有一条弧, 否则就没有弧; 它也可用来表示某物资在4个单位之间的转移路线.,a,b,c,d,图1.1,35,图1.2是有5个顶点, 10条弧的有向图, 它可表示5个网球手单循环赛的结果, 这里顶点看作选手, 若选手i打败选手j, 则有弧(i,j), (假设比赛无平局),36,由一个有n个顶点的有向图, 可以得到一个n阶方阵A=(aij)nn, 其中,它反映
9、图中顶点之间的相邻关系, 因而称为(顶点)邻接矩阵.,37,例如图1.1的邻接矩阵,b,38,图1.2的邻接矩阵,39,例1.10 设某小航空公司在4城市间的航行运行图如图1.1, 某记者从城市d出发, (1)有几条经3次航行到达城市c的线路: (2)有几条经4次航行回到城市d的线路?,a,b,c,d,图1.1,40,41,所以 表明从出发经两次航行到达a的线路有两条: dba和dca.,42,43,44,例1.11 (例1.10之续) 若b,c两城市的棒球队将进行决赛, 按规定他们必须在第三地举行比赛, 问这样的城市是否存在(假设不转机), 有几个可供选择的城市?,a,b,c,d,图1.1,
10、45,解 继续考虑图1.1的邻接矩阵A.,46,记 B=(bij)=AAT, (1.10) 则,47,故两棒球队可选择a城作为比赛地, 且可供选择的城市仅此一个. 一般地, 由(1.10)式, 则 bij的值=从顶点i到j发出的弧终止于同一顶点的顶点数.,48,例1.12 设5位网球手的竞赛结果如图1.2所示. 假设胜一场得分, 则各选手的得分依次是邻接矩阵M的各行元素之和:,得分,(1.11),49,为反映各选手的能力, 规定排序的规则为: 若i打败j, 则i从j身上得一分(称为一级得分);若i打败某k且k打败j, 则i也从j身上得1分(二级得分), 按此规则, 如何排序呢?,50,选手i的
11、得分是一级得分和二级得分之和. 前者已由(1.11)式给出. 至于二级得分, 由例1.10, 就是M2的对应行元素之和. 于是, 选手i的得分就是矩阵M+M2中对应行元素之和.,51,52,得分,于是各选手名次为b,e,a和d(并列第三),c. 这样的排序更真实地反映了各选手的实力.,53,三, 矩阵的转置 定义1.4 设mn矩阵A=(aij), 则它的转置矩阵, 记为B=AT=(bij), 规定(i)B为nm矩阵; (ii) bij=aji, i=1,2,n; j=1,2,m.,54,例如,则,可见, 转置就是把矩阵A的行和列按原来次序互换.,55,转置也是一种运算, 它满足以下运算规律:
12、(i) (AT)T=A; (ii) (A+B)T=AT+BT; (iii) (lA)T=lAT, (l为数); (iv) (AB)T=BTAT.,56,例1.13 已知,解 直接计算BT和AT的乘积;,57,对于矩阵A, 如果满足 AT=A, 则称A为对称矩阵, 简称对称阵.,58,由定义可知, 对称阵A=(aij)一定是方阵, 且aij=aji, 即它的元素以对角线为对称轴对应相等. 例如矩阵,59,例1.15 设A是对称阵, 证明BTAB也是对称阵. 证 因为AT=A, 由转置的性质得 (BTAB)T=BTATB=BTAB, 所以BTAB是对称阵.,60,作业 习题一, 第4. 6. 14. 题,
