1、第二节 矩阵的运算,矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 矩阵的转置 方阵的行列式 共轭矩阵 小结,解法1,例4,归纳出,下面再用数学归纳法来证明（略）。,解法二：令矩阵,则A=E+B,经计算知：,故有,用矩阵乘法表示线性运算,线性方程组的一般形式,即,AX=B,线性变换,可表示为：,记作： Y = AX,（1）x到y,例如,Y=AX,X=BZ,Y=ABZ,故z到y的线性变换为,由矩阵与线性变换一一对应,可知,例、某航空公司在,四城市之间的航线图,定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT 或 A.,例如,四、矩阵的转置(Transpose),转置矩阵的运算性
2、质,例5 已知,解法1,解法2,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。,为反对称矩阵,证明,练习：设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵， 则AB+BA是n阶反对称矩阵。,法二:设A=B+C,其中B为对称矩阵,C为反对称矩阵.,则有,可验证: B为对称矩阵,C为反对称矩阵,且A=B+C.,例7 证明任一n 阶矩阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵,B为反对称矩阵.,命题得证.,五、方阵的行列式（Determinant）,定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或detA.,运算性质,
3、仅对2阶方阵说明|AB|=|A|B|的证明思路:,假设A=(aij)2, B=(bij)2, 则考虑四阶行列式,说明：,例,解,? 思 考：,(3)若A=O,则|A|=0？反之是否成立？,例,解,要注意区别: 数乘矩阵行列式和数乘行列式.,性质,证明,则,故,同理可得,例,解,例,解,主对角线对换 次对角线变号,六、共轭矩阵,运算性质,（设 为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:,小结,矩阵加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,矩阵运算,矩阵乘法不满足交换律； 不满足消去律； 有非零的零因子。,矩阵与数的不同：,注 意,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律. 矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,思考题,练习,作业,习题二：第54页 8，10,
