1、唐山市 2016-2017 学年度高三年级第三次模拟考试理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）20Axlog1BxyABA. B. C. D.0,1,22,02.已知 为虚数单位， ，则复数 的共轭复数为（ ）iziizA. B. C. D.135i35i 135ii3.总体由编号为 01，02，03，49，50 的 50 个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第
2、 10 列数字开始由左向右读取，则选出来的 4 个个体的编号为（ ）A.05 B.09 C.11 D.204.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的离心率为2:10,xyCab20xyC（ ）A. B. 或 C.2 D. 5252 55.执行下图程序框图，若输出 ，则输入的 为（ ）4yxA. 或 或 1 B. C. 或 1 D.1 32226.数列 是首项 ，对于任意 ，有 ，则 前 5 项和 （ na1*,mnN3nmana5S）A.121 B.25C.31 D.357.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4 B.8 C. D.43838.函数 （其中 为自然对数的底数）的图象
3、大致为（ ）1xefeA B C D9.若 ，则 （ ）929011xaxax1239aaA.1 B.513 C.512 D.51110.函数 （ ）在 内的值域为 ，则 的取值范围是（ cos6fx0,31,2）A. B. C. D.35,253,625,65,6311.抛物线 的焦点为 ， 为准线上一点， 为 轴上一点， 为直角，2:4CyxFNMyMNF若线段 的中点 在抛物线 上，则 的面积为（ ）MFECA. B. C. D. 22323212.已知函数 有两个极值点 ，且 ，若 ，函数3fxabx12,x12x1023x，则 （ ）0gxgA.恰有一个零点 B.恰有两个零点C.恰有
4、三个零点 D.至多两个零点第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为 3,1a2,bab14.直线 的三个顶点都在球 的球面上， ，若三棱锥 的体积ABC O2ABCOABC为 2，则该球的表面积为 15.已知变量 满足约束条件 ，目标函数 的最小值为 ，则实数,xy102xya2zxy5.a16.数列 的前 项和为 ，若 ，则 nnS*214nnaNna三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， .ABC
5、BCabccosabC（1）求证： ；sinta（2）若 ， 为锐角，求 的取值范围.c18.某学校用简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t0,15,30,45,60,75,90男同学人数7 11 15 12 2 1女同学人数8 9 17 13 3 2若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校 4000 名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的 8 名“读书迷”中随机抽取 4 位同学参加读书日宣传活动.（i）求抽取的 4 位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii）记抽取的“读书迷”中
6、男生人数为 ，求 的分布列和数学期望 .X19.如图，平行四边形 中， ， ， ， ， 分别为ABCD24AB60CPADEF， 的中点，BCPE平面 .AF（1）求证： 平面 ；PABCD（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.BFAD20.已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .2:10xyab13,2E32（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与圆 相切于点 ，且与椭圆 相交于不同的两点 ， ，求l22:OxybMAB的最大值.AB21.已知函数 ， .2ln1fxax0（1）讨论函数 的单调性；f（2）若函数 在区间 有唯一零点 ，证明： .fx1,00x210exe22.点 是曲线 上的动点，以
7、坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴P21:4CyO建立极坐标系，以极点 为中心，将点 逆时针旋转 得到点 ，设点 的轨迹方程为OP90Q曲线 .2（1）求曲线 ， 的极坐标方程；1C2（2）射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点，定点 ，求 的031C2AB2,0MAB面积.23.已知函数 .21fxax（1）若 ，解不等式 ；a5f（2）当 时， ，求满足 的 的取值范围 .0ga4ga唐山市 20162017 学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一选择题：BACCD DBDAC BA二填空题：（13） （14） （15） （16）54312n三解答题：（17）解：（）由 根据正弦定
8、理得 ，cosabCsinsincoABC即 ，sininBB，icosisincosC，siniC得 itaB（）由余弦定理得 ，2222cos48cabCbb由 知 ，osabC1os由 为锐角，得 ，所以 .0c12b从而有 .218所以 的取值范围是 .c1,2（18）解：（）设该校 4000 名学生中“读书迷”有 人，则 ，解得 .x8104x320所以该校 4000 名学生中“读书迷”约有 320 人. （） （）抽取的 4 名同学既有男同学，又有女同学的概率：.45813CP（） 可取 0，1，2，3.X， ，458CP135487CPX， ，235487X31548的分布列为：
9、X0 1 2 3P14373714.3102742E（19）解：（1）连接 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，AFPEDPEDAFEPFE DCBA在平行四边形 中， ， ，CD24BA60B所以 ， ，2A3从而有 ，2E所以 ，D又因为 ，AF所以 平面 ， 平面 ，EPAPE从而有 ，EDPA又因为 ， ，ED所以 平面 .BC（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，Ez y xPFE DCB A则 ， ， ，0,23,0D3,10B因为 平面 ，所以 ，AFPAFP又因为 为 中点，所以 ，E2E所以 ， ，0,2,1， ， ，,AF23,0AD3,01BF设平面 的法向量
10、为 ，,nxyz由 ， 得， ，0AFn023令 ，得 .1x,3设直线 与平面 所成的角为 ，则：BFAD，231sinco, 7BFn即直线 与平面 所成角的正弦值为 .BFA（20）解：（）由已知可得 ， ，解得 ， ，2314ab23ab2a1b所以椭圆 的方程为 214xy（）当直线 垂直于 轴时，由直线 与圆 ： 相切，l lO21xy可知直线 的方程为 ，易求 .1x3AB当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为 ，l lykxm由直线 与圆 相切，得 ，即 ，l2:1Oxy2121将 代入 ，整理得 ，ykm24224840kx设 ， ，则 ， ，1,Ax2,Bxy122mx1
11、2k1 4kkx，22 22 2861144mk又因为 ，21k所以 ，2231434kAB当且仅当 ，即 时等号成立，21k2综上所述， 的最大值为 2.（21）解：（） ， ，211 axfxx令 ， ，2ga2482a若 ，即 ，则 ，00gx当 时， ， 单调递增，1,xff若 ，即 ，则 ，仅当 时，等号成立，02a0gx12x当 时， ， 单调递增.1,xff若 ，即 ，则 有两个零点 ， ，02agx12ax2ax由 ， 得 ，10g02120当 时， ， ， 单调递增；1,xgxfxfx当 时， ， ， 单调递减；2,0ff当 时， ， ， 单调递增 .,xgx0fxfx综上所
12、述，当 时， 在 上单调递增；02afx1,当 时， 在 和 上单调递增，f2,a2,a在 上单调递减. 2,aa （）由（1）及 可知：仅当极大值等于零，即 时，符合要求.0f10fx此时， 就是函数 在区间 的唯一零点 .1xfx1,00所以 ，从而有 ，200a02ax又因为 ，所以 ，200ln1fxx0ln12x令 ，则 ，01tlt设 ，则 ，ln2htt21th再由（1）知： ， ， 单调递减，100tt又因为 ， ，25eh132eh所以 ，即 .21t20x（22）解：（）曲线 的极坐标方程为 1C4cos设 ，则 ，则有 ,Q,2P4cos4sin2所以，曲线 的极坐标方程为 2Cin（） 到射线 的距离为 ，M32si3d，4sinco1BA则 132Sd（23）解：（） ,1fxx所以 表示数轴上的点 到 和 1 的距离之和，2因为 或 2 时 ，3x5fx依据绝对值的几何意义可得 的解集为 f32x（） ，121gaa当 时， ，等号当且仅当 时成立，所以 无解；051a4ga当 时， ，1a21ga由 得 ，解得 ，又因为 ，所以 ；4g2502a01a12a当 时， ，解得 ，1a14a3综上， 的取值范围是 3,2
