1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,上页,下页,返回,引例,首页,结束,铃,1 矩阵的初等变换,2 矩阵的秩,3 线性方程组的解,3.1 矩阵的初等变换,上页,下页,返回,引例,首页,结束,铃,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程组变为另一个同解的方程组 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,显然 交换B的第1行与第2行即得B1,增广矩阵的比较,例如,下页,显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程组
2、变为另一个同解的方程组 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,例如,增广矩阵的比较,下页,显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程组变为另一个同解的方程组 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,例如,增广矩阵的比较,下页,线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩
3、阵的三种初等变换,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程组变为另一个同解的方程组 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,下页,下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (iii)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去,矩阵的初等变换,这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换,例如 变换ri+krj的逆变换为ri+(k)rj(或记作rikrj),rirj(cicj)对调i j两行(列)rik(cik)
4、表示第i行(列)乘非零数k ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,初等变换的符号,下页,矩阵的等价关系,如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B等价 记作 A B,等价关系的性质(i)反身性 AA (ii)对称性 若AB 则BA (iii)传递性 若AB BC 则AC ,下页,r3r4,0 0 0 2 6,1 1 2 1 4,0 2 2 2 0,0 5 5 3 6,0 3 3 4 3,1 1 2 1 4,2 1 1 1 2,2 3 1 1 2,3 6 9 7 9,r42r3,矩阵初等变换举例,r1r2,r2r3,r32r1,r43r1,1 1 2 1
5、 4,0 1 1 1 0,0 0 0 2 6,0 0 0 1 3,r22,r35r2,r43r2,r32,r1r2,r2r3,行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,1 0 1 0 4,0 1 1 0 3,0 0 0 0 0,0 0 0 1 3,下页,可以证明 对于任何矩阵A 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,下页,矩阵初等变换举例,对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0,矩阵的标准形,比如上述行最简形矩阵经初等列变换得,下页,因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组,行最简形矩阵与线性方程组的解,矩
6、阵初等变换举例,完整解题过程,下页,矩阵初等变换举例,所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的,行最简形矩阵与线性方程组的解,结束,行等价 的矩阵,同解线性 方程组,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵,E(i(k)表示用非零数k乘单位矩阵E的第i行(列)得到初等矩阵,E(ij(k)表示把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行上 或把单位矩阵E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩阵,E(i j)表示对调单位矩阵E的第i j两行(列)得到的初等矩阵,例如,下页,由单位矩阵E经过一次
7、初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵,E(i(k)表示用非零数k乘单位矩阵E的第i行(列)得到初等矩阵,E(ij(k)表示把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行上 或把单位矩阵E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩阵,E(i j)表示对调单位矩阵E的第i j两行(列)得到的初等矩阵,下页,初等矩阵都是可逆的 并且,初等矩阵的可逆性,E(i j)1E(i j),E(ij(k)1E(ij(k),定理2(矩阵可逆的充要条件) 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl ,定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换对A左乘
8、相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换对A右乘相应的n 阶初等矩阵,下页,推论1,下页,推论2mn矩阵A与B行等价 存在m阶可逆阵P，使PABmn矩阵A与B列等价 存在n阶可逆阵Q, 使AQB mn矩阵A与B等价 存在m阶可逆阵P及n阶可逆阵Q使PAQB,设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵 显然A1也可逆 所以 存在初等阵P1,P2 , Pl ,使得A1P1P2 Pl 于是有A1AP1P2 Pl A 即 E P1P2 Pl A 及 A1BP1P2 Pl B 这表明 如果对A进行若干次初等行变换化为E 则对B进行同样的初等行变换将化为A1B 两式合起来为P1P2 Pl (A B)( P1P2
9、Pl A P1P2 Pl B) (E A1B),矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵,求逆矩阵的一个重要方法,下页,设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵 则存在初等矩阵P1 P2 Pl 使P1P2 Pl (A B)(E A1B),上式的意义 (i)取BE时 上式成为 P1P2 Pl (A E)(E A1)(ii)当A为可逆矩阵时 方程AXB的解为XA1B 求AXB的解可以对(A B)进行初等行变换 使之成为(E A1B) 此时即得XA1B,矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵,求逆矩阵的一个重要方法,下页,若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可
10、化为(E A1),例1 设 求A1,解,(A E),因为,下页,若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1),例1 设 求A1,r,(A E),所以,解,因为,下页,若矩阵A可逆 则矩阵(A B)经初等行变换可化为(E A1B),记X(x1 x2) B(b1 b2) 则两个线性方程组可合成一个矩阵方程AXB,解,因为,下页,若矩阵A可逆 则矩阵(A B)经初等行变换可化为(E A1B),例3 求解矩阵方程AXAX 其中 ,把所给方程变形为(AE)XA,解,因为,所以,讨论 如何求解矩阵方程XAB? 其中A可逆,结束,提示,小结,概念：同解方程组；同解变换；（行/列）初等变换；（行/列）等价；行（列）阶梯形矩阵；行（列）最简形矩阵；标准形.初等矩阵,小结,定理1 初等阵与矩阵乘法的性质 定理2 矩阵可逆的充要条件 推论 A与B行等价存在可逆阵P,使PABA与B列等价存在可逆阵Q,使AQBA与B等价存在可逆阵P,Q使PAQB. 计算逆矩阵的方法,探索发现型思考题,判断下列方程组是否有解,1. 线性方程组在什么情况下有解，什么情况下无解？你发现了什么规律？ 2. 若有解求出它全部的解.,作业,P78 1(2)(4) 2 3(2) 5(1) 6,
