1、 6 3惯性定理和二次型的规范形 定理任一秩为r的二次型 均可经过适当的可逆线性替换化为 其中 推论任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵 其中 设是n元二次型 且秩 A r 1 f是复二次型 存在可逆复线性替换把f化为 其中 再令 则f被进一步变为 称上式为复二次型的规范形 定理任意复二次型均可经过适当的可逆复线性替换化为规范形且规范形唯一 推论对任意一个秩为r的n阶复对称矩阵A 必存在n阶可逆复矩阵C 使得 例设A B均为n阶复对称矩阵 则A与B在复数域上合同的充分必要条件是 2 f是实二次型 存在可逆实线性替换把f化为 其中 再令 则f被进一步变为 称上式为实二次型的规范形
2、定理 惯性定理 任意实二次型均可经过适当的可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一 推论对任意一个秩为r的n阶实对称矩阵A 一定存在n阶可逆实矩阵C 使得 其中p由A唯一确定 定义在秩为r的实二次型f的规范形中 系数是1 或 1 的平方项个数p 或r p 称为f的正 或负 惯性指数 称2p r为f的符号差 注实二次型的任一标准形中 系数大于 小于 零的平方项个数即为正 负 惯性指数 例已知实对称矩阵 与下述三个对角矩阵 之一合同 试确定之 解考虑二次型 对其作可逆线性替换 则 由此得f的正 负惯性指数均为1 而二次型 中 只有的正 负惯性指数均为1 所以 f只能通过非退化线性变换为 即A只能与合同 例设A是n阶实对称矩阵且n为奇数 证明 若 则存在n维非零列向量 使 证明考虑n元二次型 用正交替换把其化为标准型 则 因 且n为奇数 所以均不为零且至少有一个大于零 不妨设 取n维列向量 则 令 因可逆 故且
