1、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第三节 矩阵的初等变换,初等变换,初等矩阵,利用初等变换求逆矩阵,矩阵行列式两个性质的证明,一. 初等变换,对矩阵作以下三种变换，称为矩阵的行初等变换：,（3）以k乘某行加到另一行。,（k乘第j行加到第i行,将三种变换中的“行”字改为“列”字，就称为列初,变换。,（记号依次换作,，,，,。）,行初等变换与列初等变换统称为初等变换。,矩阵经初等变换后会发生改变。,矩阵A经初等变换化成矩阵B，,用,表示仅用行初等变换将A化成B，,用,表示仅用列初等变换将A化成B。,矩阵的初等变换有以下性质：,等变换，将A化成上三角矩阵。即,(i)对任何n阶矩阵A，
2、可以仅用第三种行（列）初,仅用第三种行（列）初等变换,(ii)对可逆n阶矩阵A，可以仅用第三种行（列）初,等变换，将A化成对角矩阵。即,仅用第三种行（列）初等变换,对角线下方全为0,对角线之外全为0,(iii)对可逆n阶矩阵A，可以仅用行（列）初等变换，,将A化为单位矩阵。即,例如，仅用第三种初等行变换，可将下列矩阵化为,上三角矩阵：,与计算行列式一样，主要思路是用对角线上的元素把其下方的元素化为0。,注意：当一系列的第三种初等行变换把矩阵变成上三角矩阵时，相同的初等变换把矩阵的行列式变成上三角行列式。,思考,换，变成矩阵：,1. 设矩阵A经过一系列的第三种初等行变,2. 设矩阵A经过一系列的
3、第三种初等行变换,和一次交换2、3两行的初等行变换变成B，则,。,定理1.,过初等变换将A化为矩阵,即,当A为n阶可逆阵时，上式右端的矩阵就是n阶单,位矩阵，并且由前面的性质(iii)可知，仅用行初等变换,即可将A化为单位阵。,它自身，可逆阵的标准形为单位阵。定理1说明，任何,矩阵都可以通过初等变换将其化为标准形。,例如，通过初等变换，可将下列矩阵化为标准形:,在将矩阵化为标准形时，一般要同时使用行和列的,矩阵,初等变换，仅用其中一种不一定能化为标准形。例如,不同时使用行和列的初等变换，就无法化为标准形,二. 初等矩阵,定义2.,为与该初等变换相对应的初等矩阵。,对单位矩阵作一次初等变换，所得
4、矩阵称,交换E的i，j两行（列），得初等矩阵,初等矩阵有以下三种：,i行,j行,i行,i列,到第j列上），得初等矩阵,以k乘E的第j行加到第i行上（或以k乘E的第i列加,i行,i列,j行,j列,例如，三阶单位矩阵及其某些初等矩阵如下：,一般，对单位矩阵使用 相对应的行（列）变换，结果相同。,初等矩阵与矩阵的初等变换有以下定理2所述的重,要关系。,定理2.,的初等矩阵。说清楚一点，就是以下六个等价式成立：,对矩阵A作行初等变换，等价于对A左乘相应,的初等矩阵；对A作列初等变换，等价于对A右乘相应,例如，对于矩阵,推论：,初等矩阵为可逆矩阵，且,由推论可知，初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵。,例如，三
5、阶初等矩阵,定理3.,设A为n阶矩阵，则A为可逆矩阵的充分必,定义2.,与B等价。,若矩阵A经过初等变换可以化成B，则称A,以下性质：,成B，现在这个记号也就表示A与B等价。矩阵等价有,（1）反身：,可逆矩阵与同阶单位矩阵等价。,定理4.,充分必要条件是存在两个可逆阵P，Q，使得,三. 利用初等变换求逆矩阵,引理.,若,，（E为单位阵），则,由引理得到用初等变换求逆矩阵的方法：,在A的右边放上同阶的单位矩阵E，得到,第一步，,矩阵(A，E)。,第二步，,对(A，E)作行初等变换，目标是将A化为,单位阵，设(A，E)化为(E，B)，则B就是所求的,例1.,例2.,设,其中A可逆，则,四. 矩阵行
6、列式两个性质的证明,前面曾列举过下面矩阵行列式的两个性质：,（1）设A，B是两个n阶矩阵，则有,（2）设,为分块对角矩阵，则有,注:,同样可证,方阵。,例如,本 节 完,证明：,(i),设A如下，,分三种情况，,令,则上式记号改变。,（I）,第二种情况：,但第一列有一个元素,这时将A的第i行加到第一行上，,则第一行第一个元素,和第一种情况一样，可用第三种行初等变换，,A化为（I）的形状，此时,第三种情况：,A的第1列元素全为0。这时不必作任,何变换，它本身就是（I）的形状，此时,变换，将A化为（I）的形式。再对（I）的第二列元素,因此，不论哪种情况，都可以仅用第三种行初等,等变换，将（I）化为
7、,和前面作同样的讨论，可以仅用第三种行初,化为上三角矩阵。,依此类推，经过若干次第三种行初步变换，就可将A,对于仅用第三种列初等变换的情形，可以从A的第,n列出发讨论，通过第三种列初等变换，将A化为：,再讨论第n1列，依此类推，即可仅用第三种列初等变,换，将A化为上三角矩阵。,(ii)由(i)，仅用第三种行初等变换，可将化为上三角,矩阵：,因为第三种初等变换不会改变矩阵行列式的值，所以,角线上方的元素都化为0，这就将化为对角矩阵。（列,可以再用第三种行初等变换，将上三角矩阵中，主对,的情况同样讨论）,阵。因对角线元素都不为0，作第二种行初等变换，第1,(iii)由(ii)，先用第三种行初等变换
8、，将化为对角矩,证明：,因此不妨假设,，通过第三种行、列初等变换，,的讨论，如此类推下去，就可以得到,证明：,只证最后一个，即,其余类似可证。,先证,将A及E按列分块，成为分块矩阵,是E的n个列，,于是,因为,，所以,i=1，2，n,再证,由前面已证的结论，有,因此,证明：,换i，j两行，再交换i，j两行，所以,，由定理2，这就是对E交,因而,同理有,证明：,充分性：,初等矩阵可逆，可逆阵的乘积也可逆，故A可逆。,必要性：,若干次行初等变换，将A化为单位阵，再由定理2，存在,设A可逆，由初等变换性质(iii)，对A施行,若干个初等矩阵,，使,由此得,其中,初等矩阵，故必要性得证。,，因初等矩阵
9、的逆矩阵也是,证明：,必要性，,设A与B等价，则经过若干次行、,列的初等变换可以将A化成B，由定理2，就是存在初,令,，则PAQ=B。,矩阵可逆，故P，Q可逆。,由于初等,充分性，,P，Q可表示成初等矩阵的乘积，,设存在可逆阵P，Q使PAQ=B，由定理3，,设,由定理2，这等式说明经过若干次行、列的初等变换A,可以化成B，故A与B等价。,证明：,若,，由定理2，存在初,等阵,，使得,于是,，由此得BA=E。,故,解：,故得,解：,B是由A交换2，3两列，再交换1，4两列。,是由单位阵E交换2，3两列得到的初等矩阵，,交换1，4两列得到的初等矩阵。,是由E,(若用我们前面使用的记号，则,因此,应选（C）。,证明：,初等变换，可以将A化为上三角矩阵，,由初等变换的性质(i)，仅用第三种行,可以将B化为上三角矩阵，,仅用列初等变换，,再由定理2，就存在相应于,第三种初等变换的初等矩阵,，使得,以上两式相乘得,（1）,对上面三个等式两边取行列式，因为第三种初等变换,不改变矩阵行列式的值，故得,（2）,换性质(i)，,根据初等变,矩阵,可以仅用第三种行初等变换化为上三角,可以仅用第三种行初等变换化为上三角矩阵,用第三种行初等变换将A化为上三角矩阵,于是就,因为第三种行初等变换不改变矩阵行列式的值，,故有,
