1、1 方阵A与其特征值之间有如下的重要关系 设n阶方阵A的n个特征值为l1 l2 ln 则 2 证明 1 比较上面两式的右边 注意ln 1的系数 可有 3 2 在 lE A l l1 l l2 l ln 中 令l 0代入 得 4 例4 8若A为可逆矩阵 则 5 6 例4 9设A2 A 则A的特征值只能是0或1 证明设Ax lx l是A的特征值 则A2x lAx l2x 又有A2x Ax lx 故得lx l2x 即 l l2 x 0 由于x是非零向量 故l l2 0 即l 0或l 1 7 例4 10设f x a0 a1x amxm为x的m次多项式 记f A a0E a1A amAm为矩阵A的多项式
2、 试证明 若l是A的特征值 则f l 是f A 的特征值 8 证明设Aa la 则有Aka lka k Z 因而f A a a0E a1A amAm a a0Ea a1Aa amAma a0a a1la amlma a0 a1l amlm a f l a 即f l 是f A 的特征值 9 3相似矩阵 10 定义4 9设A B皆为n阶方阵 若存在n阶可逆阵U 使得U 1AU B 则称矩阵A与B相似 对A进行运算U 1AU 称对A进行相似变换 由定义可知 若矩阵A与B相似 则A与B等价 11 相似矩阵有诸多性质 若U 1AU B 则 1 A与B有相同的行列式 只要在等式两边取行列式 便得证 2 A
3、与B有相同的可逆性 当它们可逆时 其逆阵也相似 可逆时 只要在等式两边取逆 便得证 3 A与B有相同的秩 因A的两旁乘的是可逆阵 可逆阵与矩阵相乘时 不改变那个矩阵的秩 12 4 A与B有相同的特征多项式 lE B lU 1U U 1AU U 1 lE A U U 1 lE A U lE A 5 A与B有相同的特征值 这是 4 的自然的结果 注意 1 2 3 4 5 均反之则不然 4 与 5 的一个反例 它们有相同的特征值 却不相似 13 14 7 U 1AkU Bkk Z 8 f A 与f B 也相似 这里f A f B 分别是A B的多项式 U 1f A U U 1 a0E a1A amA
4、m U U 1a0EU a1U 1AU amU 1AmU a0E a1B amBm f B 相似矩阵有这么多共同性质 若这里B是对角阵 最简单的矩阵 即若能把方阵A相似变换到对角阵 这将会给我们研究矩阵A带来很大方便 15 定义4 10若能把方阵A相似变换到对角阵D 即存在可逆阵U 使U 1AU D 则称A可以对角化 否则 就称A不能对角化 16 17 这里a1 an是可逆阵U的n个列 故它们是线性无关的 同时 最后一个式子 又是特征值与特征向量的定义式 故有定理4 4n阶方阵A可对角化的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 这里顺便强调一下 若A能相似变换到D 则D的对角线元素就是A的
5、n个特征值 接下来的问题就是如何判断矩阵A有没有n个线性无关的特征向量 18 定理4 5方阵A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的 证明设l1 l2 lm是A的m个不同的特征值 a1 a2 am依次是与之对应的特征向量 现要证明a1 a2 am线性无关 观察x1a1 x2a2 xmam 0 等式两边左乘A A x1a1 x2a2 xmam A0即l1x1a1 l2x2a2 lmxmam 0 19 x1a1 x2a2 xmam 0 即l1x1a1 l2x2a2 lmxmam 0 一次次地左乘A 得 把上面m个等式合写成矩阵形式 即 20 上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式 由于li各不
6、相同 故此行列式不等于零 因而此矩阵可逆 在此等式两边 右乘此矩阵的逆阵 有 x1a1 x2a2 xmam 0 0 0 即xjaj 0j 1 m 由于aj 0 故xj 0所以向量组a1 a2 am线性无关 21 推论4 6若n阶方阵A有n个不同的特征值 则A必可对角化 22 23 推论4 7的证明比较冗长 这里不证 仅以它的一个简单情形为例加以证明 设A有两个不同的特征值l1 l2 对应于l1的线性无关的特征向量为a1 a2 对应于l2的线性无关的特征向量为b1 b2 b3 则向量组a1 a2 b1 b2 b3仍是线性无关的 24 证明观察x1a1 x2a2 x3b1 x4b2 x5b3 0
7、即有x1a1 x2a2 x3b1 x4b2 x5b3设g x1a1 x2a2若g 0 则表明g即是属于特征值l1的向量 又是属于特征值l2的向量 这是不可能的 因此g 0 即x1a1 x2a2 0 x3b1 x4b2 x5b3 0由已知a1 a2线性无关 b1 b2 b3线性无关 故x1 x2 x3 x4 x5 0所以 向量组a1 a2 b1 b2 b3线性无关 25 定理4 5及其两个推论 可以让我们清楚地了解 n阶矩阵A是否有n个线性无关的特征向量 从而可知它能否对角化 在例4 6中 三阶方阵A只有两个线性无关的特征向量 即x1与x2 所以它不能对角化 而在例4 7中的三阶方阵A 有三个线
8、性无关的特征向量 即x1 x2 x3 所以它可以对角化 即有Ax1 2x1 Ax2 2x2 Ax3 4x3 26 Ax1 2x1 Ax2 2x2 Ax3 4x3 即 由于x1 x2 x3线性无关 故矩阵 x1 x2 x3 是可逆矩阵 则有 27 例4 11设 A与B相似 求x y 解因为A与B相似 所以 A B tr A tr B 28 即有 可解出x 0 y 1 注 还可以由B知 1是A的特征值 故有 1E A 0 从中解出x 再代入 式中任一式 可解出y 29 例4 12设l1 l2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量记为a1与a2 试证明 a1 a2不是A的特征向量 30 证明按题
9、意 Aa1 l1a1 Aa2 l2a2 故有A a1 a2 l1a1 l2a2 反证 若a1 a2是A的特征向量 即存在数l 使A a1 a2 l a1 a2 于是l a1 a2 l1a1 l2a2 即 l l1 a1 l l2 a2 0 由定理4 5知 a1与a2线性无关 故l l1 0 l l2 0即l1 l2 这与已知矛盾 31 例4 13设二阶矩阵A A 0 证明 A必可对角化 证明 A l1l2 0 因为复根必成对共轭出现 故l1与l2不可能是复的 故l1与l2为实根 由l1l2 0 知l1 l2 于是由推论4 6知 二阶矩阵有二个单根 则必可对角化 32 例4 14设A是n阶方阵
10、l 2 4 2n是A的n个特征值 求 A 3E 解lE A l 3 E A 3E 上式表明 l是A的特征值 l 3是A 3E的特征值 因为A的特征值是2 4 2n 故A 3E的特征值是 1 1 3 2n 3 所以 A 3E 1 1 3 2n 3 33 4对称矩阵必可对角化 34 这里讲的对称矩阵 都是指的实对称矩阵 在上一节讨论中 我们看到 并不是任何方阵都是可以对角化的 但是 有一类矩阵却是一定可以对角化的 这就是对称矩阵 定理4 8对称矩阵的特征值必为实数这个定理 这里不证 它反映了对称阵的一个很重要的性质 其它矩阵不一定具备这个性质 35 定理4 9设l1 l2是对称阵A的两个特征值 a
11、1 a2是分别对应于l1 l2的特征向量 则a1与a2正交 36 37 定理4 10对于对称矩阵A 总存在正交阵T 使T 1AT D 这里D为对角阵 证明从略 38 第五章二次型 39 定义5 1含有n个变量x1 x2 xn的二次齐次函数 称为二次型 40 取aij aij 定义矩阵 则二次型可表为f x xTAx 41 f x xTAx任意给定一个二次型 就唯一确定了一个对称矩阵A 反之 任意给定了一个对称阵A 就得到了一个二次型 f x xTAx 因此 二次型f与对称阵A存在着一一对应关系 我们把对称阵A称为二次型f的矩阵 也把f叫做对称阵A的二次型 并规定 二次型f的秩就是对称阵A的秩
12、42 定义5 2 标准形 只含平方项的二次型 称为标准形 即 标准型f对应的矩阵是对角阵 对于二次型f x xTAx 要考虑的中心问题是 能否找到一个可逆变换 x Py P为可逆阵 使经过此可逆变换后 f y Py TA Py yT PTAP y 右端的f y 成为标准形 43 定义5 3 合同关系 设A B都是n阶方阵 若存在可逆阵P 使PTAP B 就称矩阵A与矩阵B合同 PTAP也称对A进行合同变换 定义5 4 规范形 若标准形中系数di i 1 2 n 取值仅取1 1 0 则称此标准形为规范形 44 定理5 1任给二次型f x xTAx 必有正交变换x Qy QTQ E 使f y yT
13、 QTAQ y成为标准形 即 这里l1 ln正是A的特征值 45 定义5 5 正定二次型 对于二次型f x xTAx 若 0 x Rn 恒有f x xTAx 0 则称f x 为正定二次型 并称对称阵A为正定矩阵 引理5 4二次型f x xTAx经过可逆变换x Py后 化为二次型f y yT PTAP y 若f x 是正定二次型 则f y 也是正定二次型 46 定理5 5A是正定矩阵 与下列叙述等价 1 0 x Rn 恒有f x xTAx 0 2 对称阵A的所有特征值li i 1 n 全大于零 3 A与单位阵合同 4 存在可逆阵U 使A UTU 5 A的各阶顺序主子式全大于零 47 正定矩阵的性质 1 若A B均为正定矩阵 则A B也是正定矩阵 2 若A是正定矩阵 则AT A 1 A An也都是正定矩阵 3 正定矩阵的对角线元素全大于零 48 作业习题四第144页开始第23题第24题
