1、线性代数LinearAlgebra 三石春超 本讲重点 行列式的性质与计算 n阶行列式的定义 n阶行列式的定义 定义 计算行列式的方法之一 利用定义 例1计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零 所以只能等于 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例2计算上三角行列式 分析展开式中项的一般形式是 解 所以可能不为零的项只有 例3 同理可得下三角行列式 说明 在计算行列式时 我们通常利用后面即将给出的行列式的性质 将其化为上或下三角行列式 从而得到行列式的值 利用定义计算行列式的缺点 对于一般的行列式 过于繁复 行列式的性质 转置行列式 transpose 转置行列式之定义
2、行列式称为行列式的转置行列式 记 说明行列式中行与列具有同等的地位 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质1行列式与它的转置行列式相等 行列式之性质1 转置行列式的性质 行列式之性质2 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 例如 推论如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 证明 互换相同的两行 有 行列式之性质2 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 举例 性质 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证明 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则D等于下列两个行列式之和 例如 性质 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 例如 行列式之性质6 说明 利用运算 或 将行列式中许多元素化为0 特别是利用行 列 互换 性质2 与性质6将行列式化为上 下 三角形行列式 例 计算行列式举例 计算行列式常用方法 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 解 例2 证明 证明
