1、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第四节 矩阵的秩,秩的定义,利用行初等变换求矩阵的秩,秩的性质及证明,一. 秩的定义,定义1.,行列式，称为A的k阶子式。,，在这些行、列交叉处的元素构成的k阶,例如，下列矩阵及其部分k阶子式为,没有4阶以上的子式。,定义2.,设矩阵A中有一个r阶子式,r+1阶子式（若存在的话）都等于0，,，而所有,则称数r为矩阵A,的秩，,记做R(A)或r(A)或秩(A)，,于0。,并规定零矩阵的秩等,例如，下列矩阵A：,有一个2阶子式不等于0：,由于所有的3阶子式,以A的3阶子式全为0。,都有至少一行全为0，所,同理，4阶子式全为0。,易见，R(A)=2。
2、,若A中的所有r+1阶子式都等于0，由行列式展开式,矩阵A的秩就是A中不等于0的子式的最高阶数。,可知，所有r+2阶子式（若存在的话）也都等于0，,依次,类推，可知A中所有高于r阶的子式都为0。,因此可以说：,例1.,求下列矩阵的秩,求出它的秩。对于较大的一般矩阵，要用定义求它的,只有像例1中这些较简单的矩阵，可以由定义直接,到矩阵的秩。,秩就较困难。计算矩阵的秩，主要是先用初等变换将,矩阵化为较简单的矩阵，再由定义求出的秩，从而得,二. 利用行初等变换求矩阵的秩,定理.,阵的秩相等。,若A经过初等变换化成B，则R(A)=R(B)。换,句话说，矩阵经初等变换后秩不变。或者说，等价矩,成B，再由
3、B的秩得到A的秩。,有此定理，我们就可以利用初等变换将矩阵A化简,例2.,求矩阵A的秩：,形如B的矩阵称为阶梯形矩阵，它有以下两个特点：,第一，非零行（元素不全为0的行）都集中在前面,若干行。,第二，设第i个非零行的第一个不等于0的元素为,这两个特点意味着：任一行的首个非0元素，,方所有元素,其下,下方元素之前的所有元素,全为0。,阶梯形矩阵：,例如，运用这两个特点，可以判断下列矩阵是否为,一般，使用类似于把行列式化为上三角行列式的方,法，可以把任意矩阵化为阶梯形矩阵。,例如，把下述矩阵B化为阶梯形:,基本思路：用“对角线”上的,元素把其下方的元素化为0，,进一步判断。,再做,对角线下方全为0
4、后，还不一定是阶梯形，,所以：,矩阵的秩。,我们在例2中看到，阶梯形矩阵的秩就等于它的非,零行的行数。因此，计算矩阵的秩就是用行初等变换将,矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数就是,将A化为标准形,任何非零矩阵A，都可以经过行、列的初等变换，,每个矩阵A的标准形是唯一的，它由A的秩所确定。,三. 秩的性质及证明,关于矩阵的秩，有以下一些常用性质：,（1）,则,（2）,则,（3）,设A为n阶矩阵，则,A可逆,因此，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵称为降,秩矩阵。,（4）,（5）,（6）,若k不等于0，则,（7）,矩阵，则,即用可逆矩阵乘某矩阵，不改变该矩阵的秩。,（8）,（9）,（10
5、）,本 节 完,解：,取A的1，2，3行和1，2， 4列，得到一个3阶子,式,行）。因此，A的秩R(A)=3。,而A的所有4阶子式都等于0（因为都含有一个全为0的,B中任意两行成比例，,所以B的所有2阶子式都等,等于0。,但有1阶子式,所以B的秩R(B)=1。,C中有一个1阶子式,而所有的2阶子式都为0。,所以C的秩,证明：,经过一次行初等变换，使,矩阵，则B也是零矩阵，当然有R(A)=R(B)=0。,，若A为零,现设,，A中有一个阶子式,下面证明B中必定也有一个r阶子式不等于0。,在A中的行数与列数相同。下面分三种情况讨论。,它在B中的行数与列数和D,第一种情况：交换A中的i，j两行得到B。
6、,若D不含A中i，j两行元素，,则,时含有A中的i，j两行，,，若D同,则,行，不含第j行,，若D含A中第i,则可在B中选取一个r阶子式,不含B中第i行，而含第j行，,使其,而其它行、列在B中的行列数都和D在A中的行列数相同。,显然，,或者,，都有,第二种情况：,以非0数k乘以A的第i行得到B。,若D不含A中第i行，则,；若D含A中第i,行，则,第三种情况：,A的第j行乘k加到第i行得到B。,含有A中第j行但不含第i行，,若D不含A中i，j两行或同时含有A中的i，j两行或,则,若D含有A中第i行，但不含A中第j行，,此时,是B中如下的子式：,其中未写出的行都与D中对应的行相同。,根据行列式的,
7、性质，,它可以表示成两个行列式之和，即,差一个符号，,因而B中有一个r阶子式不为0。,总之，不论哪种情况，B中都存在一个r阶子式不,为0。,因此有,另一方面，初等变换是可逆的，由B经过行初等变换可,得到A，因此又有,所以,对A作列的初等变换的情形，同理可证。,解：,对A作行初等变换如下,个不等于0的三阶子式,取B中第1，2，3行和1，3，5列的交叉处元素，构成一,换不会改变矩阵的秩，所以R(A)=R(B)=3。,B中所有4阶子式都等于0，所以B的秩=3，因为初等变,证明：,行数m及列数n。,（1）,因为A中不等于0的子式的阶数不会超过,（2）,其中,就是前面的定理。,反之，若,则A与B都等价于
8、同一个标准形,，因而A与B,等价。,（3）,若A可逆，则A有n阶子式,阶的子式，故R(A)=n。,，而没有更高,n阶子式不等于0，,反之，若R(A)=n，则A中有一个,因为A中唯一的n阶子式为,，所以,就是,，故A可逆。,（4）,设,，高于此阶的子式都为0；,，而高于此阶的子式都为0。,于是在,用这些行、,，而C中所有,阶子式等于0，,所以,其成立。,（5）及（6），根据秩的定义及行列式性质，可知,（7）,因为可逆阵可以表示成初等矩阵的乘积，,设,定理，有R(PA)=R(A)，同理可证R(AQ)=R(A)。,这说明PA是由A经过若干次行初等变换得到的，由本节,（8），（9），（10）留到后面第三、四章中证明。,
