1、 3 3带度量的空间 一 向量的内积 定义设V是实向量空间 任取 设则与的内积规定为 性质3 3 1 定义3 3 2定义了内积运算的实向量空间称为Euclid空间 简称为欧氏空间 二 向量的度量 定义设V是欧氏空间 任取 则 的长度规定为 单位向量 单位化 定理3 3 1设V是欧氏空间 则对任意均有 上式称为Cauchy Schwarz不等式 解 定义3 3 4 例设 则对任意与任意 均有 定理3 3 2 1 三角不等式 2 勾股定理 若 则 三 标准正交基 定义3 3 5设V是欧氏空间 是V中m个非零向量 若两两正交 则称是正交向量组 由单位向量构成的正交向量组称为标准正交向量组 例在欧式空
2、间中 自然基是标准正交向量组 证明 定理3 3 3 两端得 把两个线性无关的向量化为两个正交的向量 设 1 2线性无关 令则 因要求 故 又 故 从上式解得 已知线性无关 故 于是 1 2是正交向量组 令 则是标准正交向量组 此外 定理设V是欧氏空间 是V中m个线性无关的向量 则V中存在m个标准正交的向量 并且 例如 定义3 3 6 标准正交基 同理可知 定理3 3 5设V是欧氏空间 且 则V一定存在标准正交基 1 正交化 取 求标准正交基的方法 2 单位化 取 解先正交化 取 施密特正交化方法 再单位化 得标准正交向量组如下 例已知欧氏空间中的两个标准正交向量把扩充为的标准正交基 解1 把扩
3、充为的一个基 取向量 易证线性无关 因此它们是的一个基 2 把化为的一个正交基 则两两正交 且都不是零向量 因此它们是的一个正交基 令 例 解 把基础解系正交化 即合所求 亦即取 例5已知 求以为基础解系的齐次线性方程组 即 解因齐次线性方程组的解与A的每个行向量正交 故只需求一个行向量与都正交 任取行向量 要求 以为行向量的齐次方程组 由此解出 即为所求 为正交矩阵的充要条件是的列 行 向量都是单位向量且两两正交 定理3 3 6 四 正交矩阵 定义3 3 7设 若 则称是正交矩阵 例6判别下列矩阵是否为正交阵 解 所以它不是正交矩阵 考察矩阵的第一列和第二列 由于 所以它是正交矩阵 由于 1 将一组基规范正交化的方法 先用施密特正交化方法将基正交化 然后再将其单位化 五 小结 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 求一单位向量 使它与 正交 思考题 思考题解答
