线性代数课件第01章

1、第四章 线性代数问题求解,矩阵 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代法 线性方程组的符号解法 稀疏矩阵技术 特征值与特征向量,4.1 矩阵 4.1.1特殊矩阵的输入,数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵生成nn方阵：A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n)生成mn矩阵：A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n)生成和矩阵B同样位数的矩阵：A=zeros(size(B),随机元素矩阵若矩阵随机元素满足0,1区间上的均匀分布生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵：A=rand(n,m)生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵：A=rand(n),对角元素矩阵已知向量生成对角矩阵：A=diag。

2、线性代数,昆明理工大学 2011.1,2/24,2,第三节 相似矩阵,矩阵的相似和对角化,相关示例,3/24,一. 矩阵的相似和对角化,定义5.3.1.,设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使,（1）,则称A与B相似，记作,似变换，P称为相似变换矩阵。,，（1）式称为由A到B的相,若A相似于对角矩阵，则称A可对角化。,4/24,（2）若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式、,特征值、秩及相等的行列式。,性质5.3.1：,（1）相似概念具有如下性质：,反身：,对称：,传递：,5/24,定理5.3.1.,是A具有n个线性无关的特征向量。并且当,n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件,的A的。

3、第七章 线性代数在后续课程中的应用举例,7.1 电路 7.2 信号与系统课程 7.3 数字信号处理 7.4 静力学 7.5 运动学 7.6 测量学 7.7 文献管理 7.8 经济管理,7.1 电路,例7.1 电阻电路的计算如图7-1的电路。已知： 2, =4, =12, =4, =12, =4, =2，设电压源 =10v，求 ， ， 。图7-1 应用实例7.1的电路图,解：用回路电流法进行建模。选回路如图，设每个网孔。按图可列出各的回路电流分别为 ， 和。据根基尔霍夫定律，任何回路中诸元件上的电压之和等于零回路的电压方程为：写成矩阵形式为：,也可把参数代入，直接列出数字方程简写成 A*Ib* us 其中I。

4、线性代数 牛莉等编著 第1章行列式 1 1全排列及其逆序数 1 1 1排列与逆序自然数组成的有序数组称为一个元排列 记为 元排列共有个 排列称为自然排列或标准排列 规定其为标准次序 定义1在一个元排列中 若一个大的数排在一个小的数的前面 即。

5、1,第七章 线性代数在经济学中的应用,1 莱斯利人口模型 2 列昂季耶夫投入产出分析,最后两次课的内容是复习内容.,2,1 莱斯利人口模型 一、莱斯利人口模型的建立设妇女最大年龄为N,把年龄等分为n个年龄段，第i个年龄段为,时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化为 设在时段t, 第i个年龄段的人口数为第i个年龄段的生育率和存活率分别为 和,3,3,3,3,3,(I),si,4,4,4,4,4, L:=matrix(b1,b2,b3,b4,s1,0,0,0,0,s2,0,0,0,0,s3,0);det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);,5,5,5,5,5,二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量,6,证明中用到的知识： 1.重根 如果多项式。

6、第2章 矩阵,2,第2章 矩阵,高斯消元法 矩阵的加法、数量乘法、乘法 矩阵的转置、对称矩阵 可逆矩阵的逆矩阵 矩阵的初等变换和初等矩阵 分块矩阵,3,2.1 高斯消元法,高斯消元法 消元法的基本思想是通过变形把方程组化成容易求解的同解方程。在解未知量较多的方程组时，需要使消元步骤规范而又简便。例1：解线性方程组,4,2.1 高斯消元法,高斯消元法 解： 1）将第1个方程乘1/22）将第1个方程乘-2,-3,-5，并分别加到第2,3,4个方程上,5,2.1 高斯消元法,高斯消元法 3）将第2个方程乘-2，并分别加到第3,4个方程上将第3个方程乘-1，第4个方程乘-1/3。

7、第6章 二次型,本章主要介绍二次型包括把二次型化为标准形及其二次型的正定性通过本章的学习，读者应该掌握以下内容：二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩用正交变换把二次型化为标准形的方法用配方法化二次型为规范形.知道惯性定理二次型的正定性及其判别法,合同,6.1 二次型及其矩阵表示,6.1.1合同矩阵,定义1 设有两个,阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵,使得,则称矩阵,与,合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型 的主要工具合同关系具有以下性质：,性质1,与,自身合同,性质2 若,合同,则,与,合同.,与,性质3若,合同,与,合同,则,与,合。

8、第三章 矩阵的逆,问：,这就是这一节要介绍的逆矩阵，它在矩阵理论和应用中有极其重要的作用。,引言：,第一节 逆矩阵,旌娩狠窈敛黥昧岽部诗精庄烦唐迎燎怍讴逸铖措悌皎昧冀寿擤彳当欢斑熄脐枥旯丧锪蚤憧庑痹猸筌驺沟铬黑腻,定义 设A为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵B，使得：,则称A是可逆矩阵，简称A可逆，并称B是A的逆矩阵。,逆矩阵的概念,耐崃瓢姚辰乓鞋鲩踹宫涧殖蹂锯饧磷火厩谳拮结罡敖畀望朽扶杩皙殳畹庙阱包搭,定理1 设A是可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。,证明:(同一法 ),设A有两个逆矩阵B和B1，即,则,故可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。,。

9、线性代数,授课教师：周世军 安徽工业大学经济学院 E-mail: zhousjahut.edu.cn,教材及参考书,教材： 赵树嫄 线性代数（第四版）中国人民大学出版社，2008 参考书： 同济大学数学教研室编线性代数（第三版）,线性代数简介,线性代数是研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学。线性代数是代数的一个分支，由于费马和笛卡儿的工作而起源于十七世纪。 历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论(英国数学家凯莱A.Cayley,1821-1895)和行列式理论(瑞士数学家克莱姆、法国数学家范。

10、第5章 相似矩阵,本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下内容：方阵的特征值与特征向量的定义及计算相似矩阵的定义与性质方阵的相似对角化向量的内积、长度正交和正交向量组与正交矩阵的概念施密特正交化方法用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法,的特征值，非零列向量 称为方阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.1.1 方阵的特征值与特征向量,定义1 设,是一个 阶方阵,如果存在数 及,维非零列向量,使得,那么,这样的数,称为方阵,的对应于(或属于) 特。

11、第2章 矩阵,2.1 矩阵的概念,2.1.1矩阵的定义 定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵，记为或 ，其中 表示位于第 行第 列的数, 称为 的元素（或元），所以 矩阵也可以简 记为 或 ,2.1.2 几种特殊形式的矩阵 （1）行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵或称为行矩阵或行向量 （2）列矩阵 当 时，即只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量,（3）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 例如， 的零矩阵可记为（4）方阵 行数和列数都等于 的矩阵，称 为 阶矩阵或 阶方阵，记为 ，,即其中元素 称为 阶方阵的主对角。

12、第7章 线性空间与线性变换,本章介绍线性空间的基本概念与基本运算，介绍线性变换的基本概念以及线性变换的矩阵。通过本章的学习，应该掌握以下内容：线性空间的概念、基、维数与坐标基变换与坐标变换公式线性变换的概念、简单性质与运算线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩阵之间的关系线性变换运算所对应的矩阵线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件,维线性空间的概念,7.1 维线性空间,7.1.1,定义1 设,是一个非空集合，,是一个数域,在,中定义了两种代数运算：,1加法 对于,中任意两个元素,按某一法则,在,中都有惟一的一个元素,与它们。

13、第4章 线性方程组,4.1 齐次线性方程组,4.2 齐次线性方程组解的结构,若 为(4.1.1)的一个 解，则称为方程组(4.1.1)的解向量，也是(4.1.2)的解 齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质 性质1 若 是(4.1.2)的解， 为任意实数，则 也是(4.1.2)的解 性质2 若 是(4.1.2)的解，则 也是(4.1.2)的解,性质2 若,是(4.1.2)的解，则,也是(4.1.2)的解,若将齐次线性方程组(4.1.1)的全体解向量所组 成的集合记做 ，则性质1、2即为 （1）若 ， ，则 ； （2）若 ，则 同时说明集合 对向量的线性运算是封闭的， 所以集合 是一个向量空间，称为齐次线性方 程组。

14、第3章 向量组的线性相关性,3.1 维向量,3.2 向量组的线性相关性,3.2.1 向量组的线性组合 定义3 设有 维向量 ，若存 在一组数 ，使或 则称 为向量组 的线性组合，或称可由向量组 线性表示（表出），称为此线性组合的组合系数,3.2.2 向量组的线性相关与线性无关 定义4 设有 维向量组 ，若存在一组不全为零的数 ，使则称向量组 线性相关，否则称此向量组线性无关 换言之，若 线性无关，成立当且仅当,由此定义可知： （1）仅含一个零向量的向量组必线性相关 （2）仅含一个非零向量的向量组必线性无关 （3）任何包含零向量在内的向量组必线性相。

15、第6章 二次型,本章主要介绍二次型包括把二次型化为标准形及其二次型的正定性通过本章的学习，读者应该掌握以下内容：二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩用正交变换把二次型化为标准形的方法用配方法化二次型为规范形.知道惯性定理二次型的正定性及其判别法,合同,6.1 二次型及其矩阵表示,6.1.1合同矩阵,定义1 设有两个,阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵,使得,则称矩阵,与,合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型 的主要工具合同关系具有以下性质：,性质1,与,自身合同,性质2 若,合同,则,与,合同.,与,性质3若,合同,与,合同,则,与,合。

16、-1-,线 性 代 数,-2-,代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。,例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。,线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最简单的线性问题。,-3-,线性代数作为独立的分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。,最古老的线性问题是线性方程组的解法，在。

17、线 性 代 数,牛莉 等编著,中国水利水电出版社,第1章 行列式,1.1 全排列及其逆序数,1.1.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 元排列共有个排列 称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序 定义1 在一个 元排列 中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序一个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为 若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）,计算排列逆序数的方法： 设 为 个自然数 的一个排列，考虑元素 ，如果比 大且排在 前面的数有 个。

18、线 性 代 数,牛莉 等编著,中国水利水电出版社,第1章 行列式,1.1 全排列及其逆序数,1.1.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 元排列共有个排列 称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序 定义1 在一个 元排列 中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序一个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为 若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）,计算排列逆序数的方法： 设 为 个自然数 的一个排列，考虑元素 ，如果比 大且排在 前面的数有 个。