1、1,第七章 线性代数在经济学中的应用,1 莱斯利人口模型 2 列昂季耶夫投入产出分析,最后两次课的内容是复习内容.,2,1 莱斯利人口模型 一、莱斯利人口模型的建立设妇女最大年龄为N,把年龄等分为n个年龄段，第i个年龄段为,时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化为 设在时段t, 第i个年龄段的人口数为第i个年龄段的生育率和存活率分别为 和,3,3,3,3,3,(I),si,4,4,4,4,4, L:=matrix(b1,b2,b3,b4,s1,0,0,0,0,s2,0,0,0,0,s3,0);det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);,5,5,5,5,5,二、莱斯利矩阵的特征值和
2、特征向量,6,证明中用到的知识： 1.重根 如果多项式 在 有重根,则,证,2. 棣莫弗(De Moivre, A.)公式,3. 三角不等式 如果,等号成立的充分必要条件是存在 使得,7,部分证明,n=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列展开得到递推公式,7,(1),8,即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对于任意自然数成立.,9,令 ,根据条件,求和号中至少 有一项非零 , f(x)是单调严格下降连续函数,并且,根据连续函数的中间值定理,存在唯一 ,使得 即 是唯一正特征值.,是单根.,10,10, plot(x3-x2-x-1,x=-33,thickness=3);,11,现
3、在求属于 的特征向量. 代数重数为一，故几何重数也为一,故矩阵,的行向量组线性相关,但后n-1个行向量线性无关,第一个行向量必定是后n-1个行向量线性组合,联邦克立安 联邦克立安价格 联邦克立安批发 ,13,取自由未知量 xn=1,得,14,(2)设相邻两个bi不等于零时，我们证明莱斯利矩阵的其他特征值的绝对值都小于 .,14,15,15,设,设 是和 不同的特征值.,16,16,如果 设,17,P的第一列是,17,(3)设L可以对角化,即存在可逆矩阵P,使得,18,18,18,18,18,19,莱斯利矩阵及其应用 佛坪大熊猫种群发展的预测研究郭瑞海 (西南民族学院数学系)袁晓凤 (中国科学院
4、成都计算所数理室) 第22 卷第2 期 Journal of Southwest Nationalities College Natural Science EditionMay 1996,三、莱斯利矩阵对于大熊猫种群发展的预测,20,21,几个特殊矩阵的特征值 (1)莱斯利矩阵的主特征值和特征向量. (2) 是n维列向量， 的特征值为 (n-1)重. (3),B 有特征值nb,0(n-1)重，A有特征值1+(n-1)b，1-b (n-1)重.,22,重要矩阵对称 对应不同特征值的特征向量正交.正交矩阵 保持向量长度和正交性方阵的多项式 A有特征值 ,则f(A)有特征值 f( ).可逆矩阵A有
5、特征值 ,则f(A)有特征值 f( ). 例 三阶实对称矩阵有特征值 1,2,3,求 的行列式.,23,23,23,23,23,2 列昂季耶夫投入产出分析简介,国民经济各部门间存在某种连锁关系.一个经济部门倚赖其他部门的产品或半成品,同时也为其他部门提供条件.如何在特定的经济形势下确定各个经济部门的产出水平以满足整个社会的经济需要是一个十分重要的问题.投入产出模型就是利用数学方法综合地描述各经济部门间产品的生产和消耗关系的一种经济数学模型.,24,24,24,24,24,这种数学模型是由美国经济学家列昂季耶夫首先提出,多年来被各国广泛使用,在编制经济计划、经济预测以及研究污染、人口等社会问题中
6、发挥了很大的作用.列昂季耶夫因此获得了1973年诺贝尔经济学奖.列昂季耶夫提出以下假设:一 国民经济划分为几个生产部门,每个部门生产一种产品;二 每个部门将其他部门产品加工为本部门产品,在这一过程中,消耗的其他部门产品为“投入”,本部门产品为“产出”.,25,25,25,25,投入产出模型创始人,瓦西里瓦西里耶维奇列昂季耶夫（俄语： ；英语：Wassily Leontief，1905年8月5日1999年2月5日）是一位俄裔美国经济学家，后移居美国任教于哈佛大学.他以“投入产出理论”对于经济学的贡献获得了1973年诺贝尔经济学奖.1928年他以国民政府铁道部的顾问身份访问中国一年，往后他不时地利
7、用在中国时的经验解释“投入产出理论”.,26,26,26,26,26,他出生于德国慕尼黑，在俄罗斯的圣彼得堡成长，他的 父亲老列昂季耶夫（Wassily W. Leontief）是一位经济 学教授。他15岁就进入了父亲执教的列宁格勒大学攻读 哲学，也选修了一些经济学的课程。19岁（1925年） 时便获学士学位，同年移居德国进入柏林大学专攻 经济学，22岁时（1928年）获经济学博士学位。他离 开俄国的原因跟他公开反对共产主义有关，他甚至为 此数度被逮捕和监禁。,27,27,27,27,27,中间产品,中间投入,最初投入,总投入,最终 产品,总产出,投入,部门间,流量,产出,28,28,28,2
8、8,28,xi 表示表示第i个部门总产出,xij表示第i个部门分配给第 j个部门的产品数量， yi是第i个部门的最终产品数量，Nj是j部门的最初投入. 根据每个部门总产出等于总投入的假设得平衡方程,29,29,29,29,29,二、投入产出数学模型,表示j部门生产单位产品所消耗的的i部门产品数量，称为j部门对于i部门的直接消耗系数.矩阵,称为直接消耗系数矩阵,显然A是非负矩阵,并且有,1.直接消耗系数矩阵,如果,30,30,30,30,30,2.投入产出方程,由(1)和(3)得,写成矩阵形式,这个方程称为投入产出方程.,31,31,31,31,31,由(2),(3)得,写成矩阵形式,32,32
9、,32,32,32,3.投入产出方程解的存在唯一性和非负性 定理1 如果A为非负矩阵,并且,则方程组 对于任意Y有唯一解.,33,证明 我们要证E-A 可逆.用反证法.若E-A 不可逆,则E-AT不可逆.于是存在非零列向量X,矛盾.,34,34,34,34,定理2 (霍金斯-西蒙)如果A为非负矩阵, 并且,假设Y0,则方程组 的解 X0.,证明 根据上一个定理,EA可逆,设其逆矩阵为 我们证明B的每个元素非负.用反证法.设第k行有负元素,此行的最小元素记为 由 B(E A)=E 得,注意到 我们得,矛盾.,35,定理3 (霍金斯-西蒙)设A为直接消耗系数矩阵.当Y0时投入产出方程(EA)X=Y
10、有非负解的充分必要条件是EA的顺序主子式为正,即,L1 的x1轴上的截距 对于x1轴的斜率为,L2的x2 轴上的截距 对于x1轴的斜率为,L1和L2在第一象限相交，需要,n=2时的几何解释.,证明充分性(用初等变换法) 对于n阶方程组的矩阵为,设 假定其顺序主子式都大于零.第i(i2)行加第一行的倍得到,以上所作的初等变换不改变主子式的值,故 子矩阵 的非对角线上的元素为负,如此下去得到,由初等变换的过程知 故解,40,必要性证明.,对于 方程组 有非负解X，,设 对于第i个分量为1其余分量为0的列向量Y，方程(*)有非负解X，考虑前 I 个等式，并且移项得相应系数矩阵,对这个矩阵进行初等行变换，由充分性的证明知道这个矩阵变为,递推得,41,42,1969-2014诺贝尔经济学奖名单及其与数学的关系,43,44,45,46,47,48,49,
