1、华 北 水 利 水 电 学 院线性代数综合试题课 程 名 称：线性代数 专 业 班 级：土木工程（岩土及地下建筑） 成 员 组 成：姓名 蒋子贤 学号 201100627姓名 程贺 学号 201100626联 系 方 式： 13140033119 2012 年 11 月 2 日线性代数试题一、单项选择题（在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 ）1.如果 ，则 =( ).123123abmc1231233aabbccA. B. ；6m6C. ； D. 。32 3m答案选 B；如果行列式的某一行或某一列同乘以数 k 等于用数 k 乘以这个
2、行列式。此题是将第二行乘以 2，第三行乘以3，第二列乘以-1，故相当于将行列式乘以-6.2、以下四个命题中正确的是（ ） A、设 A、B 为 n 阶矩阵，则 AB=BAB、若已知矩阵 AB=0，则 A=0 或 B=0C、若已知矩阵 AB=CB，且 B0，则 A=C D、若矩阵 AB=0，则 =0 或 =0AB答案选 D；矩阵的乘法不符合乘法交换律，因此 ABBA，除非矩阵 B 是矩阵 A 的可逆矩阵，A 错。两个矩阵的乘积为0，这两个矩阵可以不为 0，如A= 0 ，B= 0，但 AB=0，B 错。矩阵的乘法也211-不满足消去率，如A= ， B= ，C= ，AB=CB=0，但 AC，C 错。2
3、11-0= BA故选 D 3. 设 A 是 sn 矩 阵 ， 则 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=0 有 非零 解 的 充 分 必 要 条 件 是 ( ).A A 的 行 向 量 组 线 性 无 关 B A 的 列 向 量 组 线 性 无 关C.A 的 行 向 量 组 线 性 相 关 D.A 的 列 向 量 组 线 性 相 关答 案 选 D； 若 矩 阵 由 线 性 相 关 列 向 量 ， ， .a123组 成 ， 则 + + . =0 时 ， ， ， .ank1a23knk123不 全 为 0， 即 有 非 零 解k0Ax4、设有矩阵 A= ，则 A- 1等于（ ）203A. B. 130
4、21 1023C. D. 3012 12031答案选 B；考察可逆矩阵的求法，将矩阵（AE)第二行除以2，第三行除以 3 化为矩阵（E )得A1 312005、设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2是其任意 2 个解，3 是 Ax=0 的一个解，则下列结论错误的是（ ）A. 1+ 2是 Ax=0 的一个解 B. 1+3 是 Ax=b 的一个解C. 1- 2是 Ax=0 的一个解 D.2 1- 2是 Ax=b 的一个解答案选 A；Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 对应的齐次线性方程组，据本学期课本命题 3.15 可知选项 BCD 正确6、如果 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（ ）A
5、.秩(A)0， =190， =1, =0，所以只有矩阵 C12D12正定9设矩阵 A= ，则 r(A) =（ ） 102462334A4 B3 C2 D1 答案选 B；对矩阵 A 进行初等变换不改变矩阵的秩，对矩阵A 进行初等变换如下，非 0 行数就是秩A 120638092 12020383621712038310010、若线性方程组的增广矩阵为 ，则当 为何值2A时线性方程组有解有多少解A 有唯一解 B0 有唯一解 12C 有无穷多解 D2 有无穷多解 答案选 C；因为当 = 时，r(A)=r =1524 0124则此方程组的一组基础解系 ，所以对于12的全部特征向量为 。81的 实 数0
6、1k同理对 ，线性方程组 的一个基320xAE础解系，解得： ，所以当021032，时 A 的全部特征向量为132。为 不 全 为 零 的 实 数32,kk最终解得 A 的全部特征向量：。为 不 全 为 零 的 实 数3213221 ,kkk6已知二次型：，3231212321321 845),( xxxxf 用正交变换化 为标准形，并求出其正交变换矩),(21f阵 Q解 3231212321321 845),( xxxxf 第一步：列出二次型方程的矩阵的矩阵 f 542A第二步：求 A 的特征根)(= 542A 的特征多项式 ： )10()(212103第三步：求特征方程的特征向量 当 时，
7、两个正交的特征向量 , 121 1p142当 时，03特征向量 243p第四步：由正交矩阵可求得标准型 正交矩阵 3231240Q正交变换 ：标准形 yx 23210yyf7、设 为 的一个解， 为对应齐次线性bAX0,nr 方程组 的基础解系，证明 线性无关。12,r 证： 由 为对应齐次线性方程组 的基础解系，则12,nr 0AX线性无关。r 反证法：设 线性相关，则 可由 线性12,nr 12,nr 表示，即： r因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故 必是 的解。这与已知条件 为 的一个解0AXbAX0相矛盾。 有上可知， 线性无关。12,nr 参考文献【1】 上海交通大学数学系.线性代数【M】北京：科学出版社，2011.【2】 长春理工大学学报（社会科学版） 【J】 ，2010 年第 5 期.【3】同济大学.线性代数.第五版【M】高等教育出版社,2011.
