1、线性代数,昆明理工大学 2011.1,2/24,2,第三节 相似矩阵,矩阵的相似和对角化,相关示例,3/24,一. 矩阵的相似和对角化,定义5.3.1.,设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使,（1）,则称A与B相似，记作,似变换，P称为相似变换矩阵。,，（1）式称为由A到B的相,若A相似于对角矩阵，则称A可对角化。,4/24,（2）若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式、,特征值、秩及相等的行列式。,性质5.3.1：,（1）相似概念具有如下性质：,反身：,对称：,传递：,5/24,定理5.3.1.,是A具有n个线性无关的特征向量。并且当,n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件,的A的线性
2、无关特征向量。,6/24,推论5.3.1.,似于对角阵。,若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A相,证明：,由2的定理，A的与n个互不相等的特征值,（证毕）,相对应的n个特征向量线性无关。故A相似于对角阵。,值，能求出与其重数相同个数的线性无关特征向量。,定理给出了一般n阶矩阵可对角化的判别条件。要使,A有个线性无关的特征向量，关键是对于有重根的特征,即,这时方程组,7/24,相应的k个线性无关的特征向量。,若,角化。,例如，2例1的两个3阶矩阵，矩阵A的二重特征,值,，相应地有两个线性无关的特征向量，对,量，故A可对角化。,值的特征向量线性无关，因此，有3个线性无关特征向,对于矩阵B，它的
3、三重特征值,出1个线性无关特征向量，故B不可对角化。,，只求,8/24,P的方法。即,若A可对角化，定理还给出求对角阵及相似变换矩,（1）求出A的全部特征值,主对角线上的元素。,，得到对角阵的,并且有,9/24,特征向量在中的位置要相对应，即对角阵中第i行j列的特,应当注意：特征值在对角阵中排列的顺序与相应的,10/24,二. 相关示例,例5.3.1.,设矩阵,对角化？,（1）k取何值时，A可对角化？，k取何值时，A不可,对角矩阵。,（2）当A可对角化时，求出相似变换矩阵P和相应的,11/24,例5.3.2.,设,（2）求,本 节 完,12/24,证明：,（1）、,若,，则,，即,若,，则,（
4、2）,故B与A有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。,的秩。,又因为P为可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知A与B有相同,又,13/24,（3）,14/24,证明：,存在可逆阵P，使,因此上述结论,15/24,线性无关),线性无关),是与其相应的A的n个线性无关特征向量。,16/24,解：,先求A的特征值。,17/24,特征值为,求其相应的特征向量。因为,18/24,若,，则,32=1个向量，因而A不存在3个线性无关的特征向量，,的基础解系只含,A不可对角化。,时，,，由,的特征向量，A可对角化。,可求出两个线性无关的特征向量，因而A有3个线性无关,19/24,（2）,时，,已求出A的特征值为,阵为,。要求的对角矩,时，解方程组,20/24,同解方程组为,基础解系为,时，解方程组,即,21/24,同解方程组为,取基础解系为,相似变换矩阵为,它使得,22/24,解：,（1）求A的特征值及相应的线性无关特征向量。,A为二阶矩阵，有两个不同特征值,故A可对角化。,时，解方程组,23/24,时，解方程组,取,则有,24/24,（2）、由（1）得,由于,，故得,
