二次函数根与系数关系

1、1一 选择题1. 若实数 m 满足 ，则下列对 m 值的估计正确的是（ ）A2m1B1m0C0m1D1m22. 设函数 y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数 k，当 xm 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的最大整数值为（ ）A2B2C1D03. 设 a、b 是常数，且 b0，抛物线 y=ax2+bx+a25a6 为下图中四个图象之一，则 a 的值为（ ）A6 或1B 6 或 1C6D14. 小明从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，观察得出了下面六条信息：c0 ； abc0；a b+c0； 2a3b=0；4a+2b+c0；一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两异号实根你认为其中正确信息的个数有（ ）5. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 。

2、二次函数图象特征与系数关系专题一、知识要点：二次函数 y=ax2+bx+c(a0)系数符号的确定1、a 由抛物线开口方向确定 0a开 口 向 下开 口 向 上2、b 由对称轴 x= - 和 a 的符号确定2b002b-ba， 则， 则， 则， 则3、c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴的 c负 半 轴 ， 则正 半 轴 ， 则4、b2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴（或坐标轴）的交点个数确定：与 x 轴的交点个数 时 ， 方 程 无 实 数 根；没 有 交 点 ， 数 根时 ， 方 程 有 两 个 相 等 实；个 交 点 ， 实 数 根时 ， 方 程 有 两 个 不 相 等；个 交 点 ， 04by1222ac与坐。

3、 第 1 页 共 26 页 教研主任签字： 二次函数图像与系数的关系1 （2013昭通）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A a0 B 3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根C a+b+c=0 D 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小2 （2013义乌市）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，顶点坐标为（1，n） ，与 y 轴的交点在（0，2） 、（0，3）之间（包含端点） ，则下列结论：当 x3 时，y0；3a+b0；1a ；3n4 中，正确的是（ ）A B C D 3 （2013烟台）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点。

4、一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系课前参与一、预习内容：阅读课本 P21。二、知识整理1、探索：一般地，对于关于 x 的一元二次方程 )04,(022 acbcbxa，它的两根 _,1x ._2算一算： 2 21x2、知识整理：如果方程 )04,(022 acbcbxa的两个实根是 1x， 2，那么 21x ， 21 。 3、不解方程，求下列方程的两根和与两根积。04)(2 034)(2p （3） 01x424、通过预习，你学到了那些知识？还有什么疑惑吗？课中参与例 1、不解方程，求下列方程的两根和与两根积。 023)(2x032)(x 023)(2x例 2、已知方程 062kx的一个根是 2，求另一根及 k 的值。 。

5、复习二次函数图像与系数的关系教学设计八甲口中学 张庆梅 学习内容：复习二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图像与系数的关系。学习目标：1、能熟记二次函数的图像与系数的关系。2、能熟练运用它们之间的关系解决相关问题。( 中考考点)学习重点：目标 1、2学习难点：目标 2学法指导：充分自学-互助合作- 展示纠错学习流程：一、学生组织复习二次函数的性质(温情提示:一定要总结全面,声音洪亮哦.)-预设时间：5 分钟（设计意图：二次函数的性质是这节课的基础，有效的复习可以为本节课打下基础，让学生组织又培养了学生的能力。 ）二、自主学习：（。

6、第 1 页（共 5 页）二次函数图象与系数的关系 A一选择题（共 12 小题）1如图，是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，对下列结论 ab0，abc0， 1，其中错误的个数是（ ）A3 B2 C1 D 02在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）Aabc0，b 24ac0 Babc 0，b 24ac0C abc0 ， b24ac0 Dabc0 ，b 24ac03已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则（ ）Ab 0，c 0 Bb 0，c0 Cb 0，c0 Db0，c04如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，0） ，对称轴 l 如图所示，则下列结论：abc0；ab+c=0；2a+c0；a+b0，其中所有正。

7、二次函数图像与系数关系1 （2013烟台）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点（ 3，0） 下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（5，y 1） ， （ ，y 2）是抛物线上两点，则y1y 2其中说法正确的是（ ）A B C D2 （2012沙坪坝区模拟）二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）Aabc0 Ba+cb Cb2a D 4a2bc3 （2013鄂州）小轩从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象中，观察得出了下面五条信息：ab0；a+b+c 0；b+2c0；a 2b+4c0； 你认为其中正确信息的个数有（ ）A2 个 B3 个 C4 。

8、一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系课前参与一、预习内容：阅读课本 P21。二、知识整理1、探索：一般地，对于关于 x 的一元二次方程 )04,(022 acbcbxa，它的两根 _,1x ._2算一算： 2 21x2、知识整理：如果方程 )04,(022 acbcbxa的两个实根是 1x， 2，那么 21x ， 21 。 3、不解方程，求下列方程的两根和与两根积。04)(2 034)(2p （3） 01x424、通过预习，你学到了那些知识？还有什么疑惑吗？课中参与例 1、不解方程，求下列方程的两根和与两根积。 023)(2x032)(x 023)(2x例 2、已知方程 062kx的一个根是 2，求另一根及 k 的值。 。

9、1二次函数图像与系数的关系1. 如图，是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴为 ，给出四个结论：； ； ； 。其中正确结论的个数是（）。A. 个B. 个C. 个D. 个2. 小轩从如图所示的二次函数 （ ）的图象中，观察得出了下面五条信息： ； ； ； 。你认为其中正确信息的个数有（）。A. 个B. 个C. 个D. 个3.设二次函数 ，当 时， ，当 时， ，那么 的取值范围是（）。A. B. C. D. 4.如图，抛物线 与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，与 轴的交点在 ， 之间（包含端点），则下列结论：当 时， ； ； ； 中，正确的是（）。A. B. C. D. 5. 已知二次。

10、例 1：已知关于 x 的二次函数 y=x 2 2mx+m 2+m 的图象与关于 x 的函数 y=kx+1 的图象交于两点 A （ x1 ， y1）、 B （ x2， y2）；（ x1 x2） （ 1）当 k=1， m=0，1 时，求 AB 的长；（2）当 k=1 ，m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想 （ 3）当 m=0，无论 k 为何值时，猜想 AOB 的形状证明你。

11、 二次函数的根与系数的关系 一、 交点间的距离 1、设二次函数 2 A（ x1， 0）， B（ x2， 0），抛物线的顶点为 C， y=ax +bx+c（ a 0）的图象与 x 轴的两个交点 显然 ABC为等腰三角形（ 1）当 ABC为直角三角形时，求 b2-4ac 的值；（ 2）当 ABC为等边三角形时， 求 b2 -4ac 的值 2 2 已知关于 x 的二次函数 y=x。

12、,勤思则得善问则裕广泛交流深入切磋,1、二次函数的定义：形如“y= （a、b、c为常数，a ）”的函数叫二次函数。注意：自变量x的最高次项为 次, 变量的关系 是 式。,0,ax2+bx+c,2,整,2、抛物线 （a0）的顶点 坐标为_ ， 对称轴为直线_,二次函数图像与系数的关系,学习目标：,1.探索发现二次函数的系数a.b.c. 的符号及图像之间的关系。 2.由抛物线确定a.b.c. 及相关代数式的符号。,a决定开口( )：a时开口向( )，a时开口向( ),a.b同时决定对称轴位置 a、b同号时对称轴在y轴( )侧a、b异号时对称轴在y轴( )侧b时对称轴是( )轴,c决定抛物线与y轴的。

13、二次函数根与系数的关系1、抛物线 cxy2与 x 轴的两个交点坐标分别为 )0,(1x， ),2，若 321x，那么 c 值为 ，抛物线的对称轴为 2、已知二次函数 )(3)2(2m的图象如图所示（1）当 m-4 时，说明这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点；（2）求 m 的取值范围；（3）在（2）的情况下，若 6OBA，求 C 点坐标；（4）求 A、B 两点间的距离；（5）求ABC 的面积 S3、 已知抛物线22myx与抛物线2234myx在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与 x轴交于 A， B两点（1）试判断哪条抛物线经过 A， B两点，并说明理由；（2）若 ， 两点到原点的距离 O， 。

14、二次函数的根与系数的关系一、 交点间的距离1、设二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）的图象与 x 轴的两个交点 A（ x1，0）， B（ x2，0），抛物线的顶点为C，显然 ABC 为等腰三角形（1）当 ABC 为直角三角形时，求 b2-4ac 的值；（2）当 ABC 为等边三角形时，求 b2-4ac 的值已知关于 x 的二次函数 y=x22mx+m 2+m 的图象与关于 x 的函数 y=kx+1 的图象交于两点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ；（x 1x 2） （1）当 k=1，m=0，1 时，求 AB 的长；(A)（2）当 k=1，m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想 （答案：10）(B)（3）当 m=0。

15、第 1 页 共 8 页例 1：已知关于 x 的二次函数 y=x22mx+m2+m 的图象与关于 x 的函数 y=kx+1 的图象交于两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ；（x1x2）（1）当 k=1，m=0，1 时，求 AB 的长；（2）当 k=1，m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想（3）当 m=0，无论 k 为何值时，猜想 AOB 的形状证明你的猜想（平面内两点间的距离公式 ） 解：（1）当 k=1，m=0 时，如图由 得 x2x1=0，x 1+x2=1，x 1x2=1，过点 A、B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，两线交于点 C直线 AB 的解析式为 y=x+1，BAC=45，ABC 是等腰直角三角形，AB= AC= |x2x 。

16、 . 二次函数根与系数关系 【知识归纳】 1. 一元二次方程 ax2 +bx+ c = 0的两根与系数之间的关系为： x1 + x2 = - b ， x1x2 = c . a a 2. 利用跟与系数的关系与方程的两根相关的问题转化为与系数相关的方程或不等式 . 3. 求出参数的值后，一定要检查其合理性，即是否满足 a 1 0且 ? 3 0 . 4. 构建二次项系数为 1 的一元二次方。

17、二次函数与根与系数的关系1、抛物线 y=kx2-4kx+3k(k0)与 x 轴交于 A,B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点 C，顶点为 D，点 E 在 x 轴下方抛物线上一动点，抛物线对称轴 DH 交 x 轴于点 H，直线 AE 交y 轴于 M，直线 BE 交对称轴 DH 于 N，求 的DHMO值2、已知抛物线 y= x2 过 A（2,2）点作直线 L 与抛物线有且只有一个公共点，且与 y 轴交1于 B，A 点关于对称轴对称点为 C，E,F 在抛物线上，EF/AB,CE,CF 交 x 轴于 M,N 求 OM-ON的值。3、抛物线 y=mx24mx+3 与 x 轴的交点为 A(1,0)，B，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)P 。

18、二次函数根与系数关系 知识归纳 1 一元二次方程的两根与系数之间的关系为 2 利用跟与系数的关系与方程的两根相关的问题转化为与系数相关的方程或不等式 3 求出参数的值后 一定要检查其合理性 即是否满足且 4 构建二次项系数为1的一元二次方程的基本方法为 以 为根的一元二次方程为 如果 那么以a b为根的方程为 类型一 求对称式的值 例1 已知是方程的两个根 不解方程 求下列代数式的值 1 2 3 。

19、一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由 16 世纪的法国数学家韦达发现的它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用【知识要点】1如果方程 (aO)的两根为 ， ，那么 ， ，这就是一元二次方程的根与系数的关系2如果两个数的和为 m，积为 n，则以这两个数为根的一元二次方程为 3若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根4求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式5当一元二次方程 (aO)。