1、二次函数的根与系数的关系一、交点间的距离1、设二次函数2A（ x1， 0）， B（ x2， 0），抛物线的顶点为 C，y=ax +bx+c（ a 0）的图象与 x 轴的两个交点显然 ABC为等腰三角形（1）当 ABC为直角三角形时，求b2-4ac 的值；（ 2）当 ABC为等边三角形时，求 b2 -4ac 的值22已知关于x 的二次函数y=x 2mx+m+m的图象与关于x 的函数 y=kx+1 的图象交于两点 A（ x1， y1）、B（ x2， y2）；（ x1 x2）（ 1）当 k=1，m=0， 1 时，求 AB 的长；(A)（ 2）当 k=1，m为任何值时， 猜想 AB的长是否不变？并证明
2、你的猜想（答案： 10）(B) （ 3）当 m=0，无论 k 为何值时，猜想AOB的形状证明你的猜想（答案：直角三角形）二、直线和抛物线相交，有两个交点，知道一个交点坐标求另一个交点坐标。(常用方法：把过交点的直线设出来，联立二次函数，消去y，再运用跟与系数的关系求出另一交点坐标)(A) 如图， A 为抛物线的顶点，2c 为二次函数 y=ax +bx+c 与 y 轴的交点， ACO=15 0，求 b 的值2(A) 如图，A 为抛物线的顶点， c 为二次函数 y=ax +bx+c 与 y 轴的交点， ACO=45 ，求 b 的值；若 ACO=30 呢？如图，抛物线y=x 2+bx+3 与 x 轴
3、正半轴交于A 、B 两点（ A 点在 B 点左边），与 y 轴正半轴交于点C，对称轴1 / 7为 x=2；（ 1）求抛物线的解析式；(答案： y=x 2-4x+3 )(B) （ 3）如图，平移抛物线使顶点为H （ 0， -4），点 P 在抛物线上， PE x 轴，若 PH 平分 APE ，求直线 PA 的解析式 .如图，抛物线C1： y=x2+4x+3 交 x 轴于 A、 B 两点，交y 轴于 C点 .（ 1）点 T 为抛物线 C1 对称轴左侧上的点，作 AEOT于 E，CF OF于 F，当 CF=2AE时求 OT的解析式；（ 2）设 G为抛物线 C1 的顶点，将抛物线 C1 向右平移，直线
4、GB交新抛物线 C2 对称轴右侧于 H 点，若 S AGH=7，求抛物线 C1 平移的距离；（ 3）将抛物线 C1 沿 y 轴翻折得到新抛物线 C3，过 C 点作直线 L 交抛物线 C1 于 M 点，交交抛物线 C3 于 N点，若 MN=8 2，求直线 L 的解析式 .如图，抛物线y=x2-4x+5 的顶点为M，且与 y 轴交于点C， MAx 于 A.(1) 将 AOM沿 y=x 翻折，请验证M的对应点是否在抛物线上；答案： N（ 1,2 ）(2) 过 N点作直线 L，交抛物线于 P 点，交 y 轴于点 E, 连接 PC，若 PE=PC,求 L 的解析式；(3) 平移直线 y=x 交抛物线于
5、H、K 两点，若 S MHK=3，求平移后直线的解析式 .2 / 7三、关于坐标轴对称问题(A+) 如图，抛物线y=x 2-2x-3 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，直线y=kx-1 与抛物线交于P、Q 两点，且y 轴平分线段 PQ，求 k 值 .(两种方法：由全等三角形的对应边相等列方程；联立后，运用根与系数的关系)（答案： k=-2 ）(A+) 如图，已知抛物线y=x 2-4x+3 ，过点 D(0 ，-2.5)的直线与抛物线交于 M 、 N 两点，与 x 轴交于点 E，且点M 、N 关于点 E 对称，求直线 MN 的解析式（答案： y=x-2.5 ）(两种方法：由全等三角形的对应边相等列
6、方程；联立后，运用根与系数的关系)4(A+) 如图，已知抛物线 y=-x 2+3x+6 交 y 轴于 A点，点 C(4 ，k) 在抛物线上，将抛物线2向右平移 n 个单位长度后与直线AC交于 M、 N两点，且 M、 N 关于 C 点成中心对称，求 nEN的值。（答案： n=2）O5M(B) 如图，已知抛物线2 直线 y=kx2C：y=x -2x+4 和直线 l ： y=-2x+8D抛物线 C 交于两个不同 的点 A、 B，与直线 l 交于点 P，分别过 A、 B、（ k 0）与P 作 x 轴的垂线，设垂足分别为A1， B1 ，P1（ 1）证明：；（ 2）是否存在实数 k，使 A A+BB=8？
7、如果存在，求出此时k 的值；如果不存在，请11说明理由（答案：不存在）-分隔线-(B) 如图，已知抛物线 y=-x 2+2x+3 与坐标轴交于 A、B、C 三点，点 D、C 关于原点对称，点 M、 N是抛物线上两点，且四边形 CMDN为平行四边形，求点 M、N 的坐标。答案： N(3 ， 23 )M(-3 ， -23 )3 / 7-分隔线 -分隔线 -下面还没有整理的如图，二次函数y=ax 2+bx+c（a0）图象的顶点为D，其图象与x 轴的交点A，B 的横坐标分别为-1 ，3，与 y轴负半轴交于点C下面五个结论：2a+b=0； a+b+c0； 4a+b+c 0；只有当a= 时， ABD是等腰
8、直角三角形；使ACB为等腰三角形的a 的值可以有三个那么，其中正确的结论是如图，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点（ A 点在 B 点左侧），直线 l 与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2。1. 求 A、 B 两点的坐标及直线 AC的函数表达式；2.P 是线段 AC上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE长度的最大值；3. 点 G抛物线上的动点， 在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。4 / 74、如图，已知抛物线与
9、x 轴交于 A(-1 ，0) 、 B(3 ，0) 两点，与y 轴交于点C(0， 3) 。（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得 PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标 ; 若不存在，请说明理由;（ 3）若点 M是抛物线上一点，以B、 C、D、 M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。-分隔线 -解：抛物线与 y 轴交于点 C（ 0， 3），设抛物线解析式为 y ax 2 bx 3(a 0)根据题意，得ab30,a1,9a3b30,，解得2.b抛物线的解析式为yx 22x 3由 yx 22x3 得， D 点坐标为（
10、 1，4），对称轴为x 1。yDCMPAOBx若以 CD为底边，则PD PC，设 P 点坐标为 (x,y)，根据勾股定理，5 / 7得 x 2(3 y) 2( x 1)2(4 y) 2 ，即 y 4x。又 P 点 (x,y)在抛物线上，4 xx22x3 ，即 x23x 1 0解得 x35， 351，应舍去。 x35 。222 y4x55，即点 P 坐标为35,55 。222若以 CD为一腰，因为点 P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P 与点 C关于直线 x 1 对称，此时点 P 坐标为（ 2，3）。符合条件的点P 坐标为35 , 55或（ 2， 3）。22由 B（ 3， 0），
11、 C（ 0，3）， D（1， 4），根据勾股定理 , 得 CB 32 ,CD2 ,BD 2 5 CB 2CD 2BD 220yDCFMPAOEBx BCD 90设对称轴交x 轴于点 E，过 C 作 CM DE，交抛物线于点M，垂足为F，在 Rt DCF中， CF DF 1, CDF 45 ,由抛物线对称性可知，CDM 2 45 90 , 点坐标 M为（ 2， 3）， DM BC,四边形BCDM为直角梯形由 BCD 90及题意可知，以 BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;不存在以 CD为一底或以 BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形综上所述，符合条件的点M的坐标为（ 2
12、， 3）。-分隔线y-C5、已知抛物线 y ax2DEbxc 经过点 A（ 5，0）、B（ 6，-6 ）和原点 .6P（ 1）求抛物线的函数关系式；4（ 2）若过点B 的直线 ykxb 与抛物线相交于点C（ 2， m），请求出 OBC的面积 S 的值 .（ 3）过点 C作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D，在抛物线对称轴右侧位于直线 DC下方的抛物线上，任取一点 P，过点 P 作直线 PF 平行于 y 轴交 x 轴于点 F，交直线 DC于点 E. 直线 PF与直线 DC及两6 / 72FGA125x- 2- 4- 6B坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若
13、存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.-分隔线 -25a5bc0a1解：（ 1）由题意得： 36a6bc0解得： b5c0c0抛物线解析式为： yx25x（ 2） C 在抛物线上，2252 m, m6C 点坐标为（ 2， 6），B 、C在直线 ykx b 上62kb解得： k3,b1266kb直线 BC的解析式为y3x12设 BC与 x 轴交于点 G，则 G的坐标为（ 4， 0）S OBC1 46 146 2422（ 3）设 P( m,n) ，ODCE90故 CE m2, EP6n OCD CPE OD DC OD DC或CEEPEPCE即662或622m 2n6n m解得 m203n 或 n123m又m203nn123m(m, n) 在抛物线上，m25m或m25mnnm110m22m12 m26503, 或解得,6n1,6n19n26 n2 P 点坐标为1050和 (6,6) 。(，)39yDCE6P42FG A125x- 2- 4- 6B7 / 7
