1、第 1 页 共 8 页例 1：已知关于 x 的二次函数 y=x22mx+m2+m 的图象与关于 x 的函数 y=kx+1 的图象交于两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ；（x1x2）（1）当 k=1，m=0，1 时，求 AB 的长；（2）当 k=1，m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想（3）当 m=0，无论 k 为何值时，猜想 AOB 的形状证明你的猜想（平面内两点间的距离公式 ） 解：（1）当 k=1，m=0 时，如图由 得 x2x1=0，x 1+x2=1，x 1x2=1，过点 A、B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，两线交于点 C直线 AB 的解析式为 y=x+
2、1，BAC=45，ABC 是等腰直角三角形，AB= AC= |x2x 1|= = ；同理，当 k=1，m=1 时，AB= ；（2）猜想：当 k=1，m 为任何值时，AB 的长不变，即 AB= 理由如下：由 ，得 x2（2m+1）x+m 2+m1=0，x 1+x2=2m+1，x 1x2=m2+m1，AB= AC= |x2x 1|= = ；（3）当 m=0，k 为任意常数时，AOB 为直角三角形，理由如下：当 k=0 时，则函数的图象为直线 y=1，由 ，得 A（1，1），B（1，1），显然AOB 为直角三角形；当 k=1 时，则一次函数为直线 y=x+1，第 2 页 共 8 页由 ，得 x2x1
3、=0，x 1+x2=1，x 1x2=1，AB= AC= |x2x 1|= = ，AB 2=10，OA 2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x 1+1） 2+（x 2+1） 2=x12+x22+（x 12+2x1+1）+（x 22+2x2+1）=2（x 12+x22）+2（x 1+x2）+2=2（1+2）+21+2=10，AB 2=OA2+OB2，AOB 是直角三角形；当 k 为任意实数，AOB 仍为直角三角形由 ，得 x2kx1=0，x 1+x2=k，x 1x2=1，AB 2=（x 1x 2） 2+（y 1y 2） 2=（x 1x 2）
4、2+（kx 1kx 2） 2=（1+k 2）（x 1x 2） 2=（1+k 2）（x 1+x2） 24x 1x2=（1+k 2）（4+k 2）=k 4+5k2+4，OA 2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx 1+1） 2+（kx 2+1） 2=x12+x22+（k 2x12+2kx1+1）+（k 2x22+2kx2+1）=（1+k 2）（x 12+x22）+2k（x 1+x2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2kk+2=k 4+5k2+4，AB 2=OA2+OB2，AOB 为直角三角形如图，已知抛物线 y=x-4x+3，过点 D
5、(0，- )的直线与抛物线交于点 M、N，与 x 轴交于点 E，25且点 M、N 与 X 轴交于 E 点，且 M、N 关于点 E 对称，求直线 MN 的解析式。解：D(0,- ) 25设直线 MN 的解析式为 y=kx- 25 2543ykxkx- = x-4x+3x-(4+k)x+ =012+ =- =4+k1x2ba 422 5 EMNDO第 3 页 共 8 页 + =0=k(4+k)mynk=1 或-5(舍)直线 MN 的解析式为 y=x- 251、 如图，抛物线 y=x22x3 与坐标轴交于 A、B、三点，直线 y=kx-1 与抛物线交于 P、Q两点，且 y 轴平分PCQ 的面积，求
6、k 的值。 （答案：k=-2）已知：二次函数 的图象交 x 轴于 、 两点，交 y 轴正半轴于点 C，且mxy)1(2 )0,(1A),(2xB。1021x（1）求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点 D(0， )的直线与抛物线交于点 M、N，与 x 轴交于点 E，使得点 M、N 关于点 E 对称？若25存在，求直线 MN 的解析式；若不存在，请说明理由。例 2、已知抛物线 y=0.25x22x5 与 x 轴交 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，将直线 m:y=0.75x-9 向上平移，交抛物线于 M、N。MN 交 y 轴正半轴于点 T，SMCT-S CNT=44，求直线 m 的解析式。第
7、 4 页 共 8 页如图，抛物线 y=x2，过 Q（0，3）作直线 l 交抛物线于 E、F，点 Q 关于原点的对称点为 P，当 SPEF=12 时，求 E、F 点的坐标。如图，抛物线 y=x2+4x3 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点的左侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 M，将抛物线沿射线 OM 的方向平移，平移后的抛物线交 x 轴于点 A1，B1，若 2A1B14，求 M 移动的最大距离.如图，抛物线 y=x2+3x+6 交 y 轴于点 A，点 C(4，k) 在抛物线上，将抛物线向右平移 n 个单位长度后与直线AC 交于 M、 N 两点，且 M、N 关于点 C 成中心
8、对称，求 n 的值。解：点 A、C 在抛物线 y=-x+3x+6 上 A(0,6) C(4,2) AC:y=-x+6抛物线 y=-x+3x+6 的顶点 G(1.5,8.25)抛物线向右平移 n 个单位后，G 点对应点 G坐标为(1.5+n,8.25),设新抛物线解析式为 y=-x-(1.5+n)+8.25联立： x-(4+2n)x+n+3n=0 =4+2n2(1.5)8.6yx MNX点 M、N 关于 C 点中心对称 = =2 n=242nCx、如图，已知抛物线 y=-x+2x+3 与坐标轴交于 A、B、C 三点，点 D、C 关于原点对称，点 M、N第 5 页 共 8 页是抛物线上两点，且四边
9、形 CMDN 为平行四边形，求点 M、N 的坐标。解：点 A、B、C 在抛物线 y=-x+2x+3 上C(0,3) (-1,0) B(3,0)点 D、C 关于原点对称 D(,)四边形 CMDA 是平行四边形 CNMD 且 CN =MD设 N(m,n) MN 关于原点对称 M(-m,-n)M、N 在抛物线 y=-x+2x+3 上23mn = =- (舍)n=2 N( ，2 )1m323M(- ，-2 )例 3、如图，抛物线 y=（x1） 213/4 的顶点为 A，与 y 轴的负半轴交于 B 点，将抛物线向下平移与直线 AB 相交 C、D 两点，若 BC+AD=AB,求平移后的抛物线的解析式.1、
10、 抛物线 y=x2/3+x/3,将直线 y=0.5x 向下平移 n 个单位长度，与抛物线交于 E、F 两点，若EOF=90，求n 的值2、如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点的左侧） ，与 y 轴交于点 C， P 点为 BC 上的一个动点，过 P 作 BC 的垂线交抛物线于 M、N 两点，若四边形 BMCN 的面积为 12，求直线 MN 的解析式。如图，已知抛物线与 x 轴交于 A(-1，0)、B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是
11、等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在，请说明理由;（3）若点 M 是抛物线上一点，以 B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标。-分隔线-第 6 页 共 8 页解：抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ，设抛物线解析式为 )(2abx根据题意，得 ，解得,039a.2,1抛物线的解析式为 2xy由 得，D 点坐标为（1，4） ，对称轴为 x1。2xy若以 CD 为底边，则 PDPC，设 P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得 ，即 y4x。2222 )()()3(x又 P 点(x,y)在抛物线上， ，即34012x解得 ， ，应舍去。 。25x15
12、x ，即点 P 坐标为 。4y 2,3若以 CD 为一腰，因为点 P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P 与点 C 关于直线 x1 对称，此时点 P 坐标为（2，3） 。符合条件的点 P 坐标为 或（2，3） 。5,23由 B（3，0） ，C（0，3） ，D（1，4） ，根据勾股定理,得 CB ,CD ,BD 5 22BCD90设对称轴交 x 轴于点 E，过 C 作 CMDE，交抛物线于点 M，垂足为 F，在RtDCF 中，CFDF1,CDF45,由抛物线对称性可知，CDM24590,点坐标 M 为（2，3） ，DMBC,四边形 BCDM 为直角梯形由BCD90及题意可知，以 B
13、C 为一底时，顶点 M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;不存在以 CD 为一底或以 BD 为一底，且顶点 M 在抛物线上的直角梯形综上所述，符合条件的点 M 的坐标为（2，3） 。-分隔线-xyAMPDO BCExyAMPDO BC FxyF-2-4-6AC EPDB521246G第 7 页 共 8 页5、已知抛物线 经过点 A（5，0） 、 B（6，-6）和原点.2yaxbc（1）求抛物线的函数关系式；（2）若 过 点 B 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 点 C（ 2， m） ， 请 求 出 OBC 的 面 积 S 的 值 .ykx （3）过点 C 作平行于 x 轴的直线交 y
14、 轴于点 D，在抛物线对称轴右侧位于直线 DC 下方的抛物线上，任取一点P，过点 P 作直线 PF 平行于 y 轴交 x 轴于点 F，交直线 DC 于点 E. 直线 PF 与直线 DC 及两坐标轴围成矩形OFED（如图） ，是否存在点 P，使得 OCD 与 CPE 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. -分隔线-解：（1）由题意得： 解得： 25036abc150abc抛物线解析式为： 25yx（2） 在抛物线上，C,6m点坐标为（2，6） ， 、 C 在直线 上Bykxb解得：kb3,12k直线 BC 的解析式为 yx设 BC 与 x 轴交于点 G，则 G 的坐标为（4，0）1622OBCSA（3）设 P ，(,)mn9DCE故 E A 或ODCPCE即 或62mn62m解得 或0313又 在抛物线上， 或(,)205n2135m解得 或102359,6mn126,n xy-4-6C EPDB51246F AG2-2第 8 页 共 8 页 P 点坐标为 和 。105()39， (6,)
